圓錐曲線常見問題突破方法

■河南省溫縣第一高級中學 李紅根

例1 已知F1,F2分別是橢圓x2+2y2=2的左右焦點,P是橢圓上的一個動點,那么的最小值是( )。

解析:設(shè)P(x0,y0),則,所以因為點P在橢圓上,所以所以當時取最小值為2。

突破方法:在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍,或者最大值、最小值時,經(jīng)常用到橢圓標準方程中x,y的范圍,離心率的范圍等不等關(guān)系。

圖1

(1)求該橢圓的標準方程。

(2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P,P′,過P,P′作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點均在圓Q外。求△P P′Q的面積S的最大值,并寫出對應(yīng)的圓Q的標準方程。

(2)由橢圓的對稱性,可設(shè)Q(x0,0)。

又設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點,則

設(shè)P(x1,y1),由題意知,P是橢圓上到點Q的距離最小的點,因此,當x=x1時,①式取最小值。又因為x1∈(-4,4),所以當x=2x0時,②式取最小值,從而x1=2x0,且

由對稱性知P′(x1,-y1),故|P P′|=|2y1|,故

突破方法:(1)求直線方程。由題意尋找確定該直線的兩個條件,進而得到直線方程。(2)求面積。先確定圖形的形狀,再利用條件尋找確定面積的條件,進而得出面積的值。(3)判斷圖形的形狀。可依據(jù)平行、垂直的條件判斷邊角關(guān)系,再依據(jù)距離公式得出邊之間的關(guān)系。(4)弦長問題。利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式求解。(5)中點弦或弦的中點。一般利用點差法求解,注意判斷直線與曲線是否相交。

例3 如圖2,已知拋物線C的頂點為O(0,0),焦點為F(0,1)。

(1)求拋物線C的方程。

(2)過點F作直線交拋物線C于A,B兩點。若直線A O,B O分別交直線l:y=x-2于M,N兩點,求|MN|的最小值。因此,這樣的圓有兩個,其標準方程分別為

解析:(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2=2p y(p＞0),則=1,p=2,所以拋物線C的方程為x2=4y。

圖2

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線A B的方程為y=k x+1。

突破方法:對于直線與拋物線的綜合問題,經(jīng)常是將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消去x(或y),利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解,但一定要注意直線與拋物線相交的條件。

(1)求a,b的值;

(2)設(shè)過F2的直線l與C的左右兩支分別交于A,B兩點,且|A F1|=|B F1|,證明:|A F2|,|A B|,|B F2|成等比數(shù)列。

(2)由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程為

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1≤-1,

由|A F1|=|B F1|,得-(3x1+1)=3x2+1,即解得,從而

從而|A F2|·|B F2|=|A B|2,所以|A F2|,|A B|,|B F2|成等比數(shù)列。

突破方法:雙曲線的綜合問題主要為直線與雙曲線的位置關(guān)系。解決這類問題的常用方法是設(shè)出直線方程或雙曲線方程,然后把直線方程和雙曲線方程聯(lián)立成方程組,消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入的思想解題。設(shè)直線與雙曲線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,直線的斜率為k,則|A B|=