巧用定義解決圓錐曲線最值問題

■河南省溫縣第一高級中學 李賀偉

在高考中,以圓錐曲線為背景的最值問題,是解析幾何中的一類常見問題。當一道題目涉及線段距離、圓錐曲線位置關系等,而且又與焦點有關時,通?？煽紤]利用定義來求解。利用圓錐曲線定義求解的基本特點是解題思路比較簡單,規律性較強。而圓錐曲線的定義是由曲線上的點到焦點的距離來刻畫的,由此可對一些距離進行有效的轉化,因此在解題中凡涉及曲線上的點到焦點的距離時,應先想到利用定義進行求解,這樣會有事半功倍之效。下面舉例說明如何巧用圓錐曲線的定義來求這類最值問題。

一、拋物線定義在最值中的巧用

拋物線定義:平面內,到定點與定直線的距離相等的點的軌跡叫作拋物線。其中定點叫拋物線的焦點,定直線叫拋物線的準線。

例1 已知拋物線y2=2x的焦點為F,P是拋物線上的動點,點A(3,2),求|P A|+|P F|的最小值,并求出取最小值時點P的坐標。

解析:將x=3代入拋物線方程y2=2x,得。因為,所以A點在拋物線內部,如圖1,設點P到準線的距離為d,由定義知|P A|+|P F|=|P A|+d。

圖1

點評:本題利用拋物線的定義,將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離,從而構造出“兩點之間線段最短”,使問題獲解。

二、橢圓定義在最值問題中的巧用

橢圓定義:平面內,到兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(大于|F1F2|)的動點P的軌跡叫作橢圓。其中F1,F2稱為橢圓的兩個焦點。其數學表達式為|P F1|+|P F2|=2a(2a＞|F1F2|)。

(2)求|MA|+|MF|的最值。

分析:本題涉及橢圓的焦點、橢圓上的點,這些都是橢圓定義的特征,所以結合定義及平面幾何知識即可解決。

解:根據題意知F(4,0)是橢圓的右焦點,橢圓的離心率為

圖2

(2)如圖3,根據橢圓的定義知|MF1|+|MF|=1 0。

圖3

故當M0在A F1的延長線上時|MA|+|MF|取得最大值為

當M0在F1A的延長線上時|MA|+|MF|取得最小值為

三、雙曲線定義在最值問題中的巧用

雙曲線定義:把平面內與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫作雙曲線。其中這兩個定點叫作雙曲線的焦點,兩定點間的距離叫作雙曲線的焦距。

分析:目標函數為|P F2|+|P B|,從一般方法來解比較困難,則我們可以從定義入手,利用雙曲線第一定義,把|P F2|轉化為|P F1|-8,而|P B|+|P F1|為平面內三點距離之和,當B,P,F1點共線時有最小值。

解:由題意得F1(-5,0)、F2(5,0),由雙曲線的第一定義得|P F1|-|P F2|=8,所以|P F2|+|P B|=|P F2|=|P F1|-8,當P點在如圖4所示的位置時有最小值,即|P F1|+|P B|≥|B F1|=,所以|P F2|+|P B|的最小值為

圖4

此題巧用雙曲線的第一定義把|P F2|轉化為|P F1|-8,再結合平面幾何知識進行分析,從而問題得解。