概率統計問題易錯歸類剖析

■河南省新蔡縣第一高級中學 田一佳

統計與概率這一模塊,相對來說是同學們容易忽視的一個章節,因為必修系列的必修3講授最快,而對于選修來說,同學們又不夠重視,導致該部分的練習題雖然較易,但也容易出錯。究其原因,筆者認為是本質概念未理解透徹,概念易混淆,比如:幾何概型與古典概型,頻率分布直方圖的中位數與平均數等。筆者就這幾個易錯點進行簡單的分析。

一、幾何概型與古典概型

例1 甲、乙比賽做某道題,甲解答此題所用的時間約5～7分鐘,乙解答此題所用的時間約6～8分鐘。現甲、乙各解此題,求乙比甲先解答完的概率。

錯解:設事件A為“乙比甲先做完此題”。由題意,甲完成此題所用時間為5、6、7分鐘,三種情況。乙完成此題所用時間為6、7、8分鐘,三種情況。所以,一共有3×3=9(個)基本事件。其中甲用7分鐘,乙用6分鐘,此事發生,除此無。所以

錯因:時間在無特殊條件要求下是連續的(沒有古典概型與幾何概型)。

正解:設甲、乙解答本道題的時間可能為x、y分鐘,則基本事件所滿足的區域為

【知識補充】不同點:兩個基本事件的特點不同,古典概型的基本事件有限,而幾何概型的基本事件無限。

相同點:每個基本事件出現的可能性相同。

二、幾何概型測量辨析

例2 如圖1,在等腰直角△A B C中,∠C=9 0°,在B C上任取一點M,求∠C AM＜3 0°的概率。

旁邊，一個渾身發抖的年輕男孩被人輕而易舉地踢掉手中的匕首，踢倒在舞臺上，一個彪悍的中年婦女撿起匕首，送進另一個人的脖子……

錯解:∠C AM可以選擇的可能性為0°～4 5°,記事件A為“∠C AM＜3 0°”,則

圖1

錯因:關鍵點是在B C上任取點M,所以點M可以選擇的區域為B C,測度為B C的長度1。而錯解卻將測度記為∠C AM的度數。

正解:記“∠C AM＜3 0°”為事件A,當∠C AM=3 0°時,在R t△A CM中,A C=1,所以。因為M是從B C中任取一點,所以實驗中所有可以取到的測度為1,則

【知識補充】看幾何概型的測度,要找到因變量,是什么在改變,引起變化的本質是什么,那么它能所取到的所有可能為試驗的總測度,滿足條件時可以變動的所有可能為此事件的測度,認清本質。

三、統計圖中的中位數問題

統計問題主要是以實際應用問題為載體展現,同學們需要注意的有兩點:第一,弄明白題中所描述的問題,把實際問題轉化為數學問題;第二,理解清楚概念,比如說頻率分布直方圖與頻率條形圖,它們的高所表示的意義不同,以及中位數、平均數、方差怎么計算,特別是中位數,不能用區間中點來表示,而是需要用到中位數的概念:最中間的數字,從而使用面積中點法去計算。

例3 海水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產量對比,收獲時各隨機抽取了1 0 0個網箱,測量各網箱水產品的產量(單位:k g)。其頻率分布直方圖如圖2和圖3所示。

圖2

(1)設兩種養殖方法的網箱產量相互獨立,記A表示事件“舊養殖法的網箱產量低于5 0k g,新養殖法的網箱產量不低于5 0 k g”,估計A的概率。

圖3

表1

(3)根據網箱產量的頻率分布直方圖,求新養殖法網箱產量的中位數的估計值(精確到0.0 1)。

錯解:(3)由于給出的數據是頻率分布直方圖,所以可以用區間中點近似代替,則數據可以近似看作,2個3 7.5,1 0個4 2.5,2 2個4 7.5,3 4個5 2.5,…,所以中位數是5 2.5。

錯因:在頻率分布直方圖中,因為沒有具體的數據,只是知道數據所在區間以及所在區間的頻率,所以在求解這組數據的平均數、方差時都是由區間中點去近似求解的。錯解就是想當然地把中位數也類似去求解了。

正解:(1)(2)略。

(3)在新養殖法的網箱產量頻率分布直方圖中,網箱產量低于5 0k g的直方圖面積為(0.0 0 4+0.0 2 0+0.0 4 4)×5=0.3 4＜0.5,網箱產量低于5 5k g的直方圖面積為0.6 8＞0.5,故新養殖法網箱產量的中位數的估計值為

【知識補充】利用頻率分布直方圖求眾數、中位數和平均數時,應注意三點:①最高的小長方形底邊中點的橫坐標即為眾數;②中位數左邊和右邊的小長方形面積和相等,都為0.5;③平均數是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和。