剖析概率統計中的誤區警示

■山東省日照第一中學 申秀實

概率統計學習中,由于同學們對概念理解不透、審題不嚴、考慮不周或忽視公式成立的條件等,導致求解中出現“多解”或“漏解”等失誤。本文對概率統計中常見的易錯、易混的典型題歸類整理,并進行錯解剖析和警示展示,希望對同學們的學習有所幫助。

誤區1——混淆“非等可能”與“等可能”事件

例1 已知在兩個口袋內,分別裝有寫著數字0,1,2,3,4,5的六張卡片,現從每個口袋中各取一張卡片,求兩張卡片上的數之和等于7的概率。

錯解:從每個口袋中各取一張卡片出現的數字之和為0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1 0,共有1 1個數,則基本事件總數為1 1,所以兩張卡片上的數之和等于7的概率

剖析:其實,從每個口袋中各取一張卡片出現的數字之和為0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1 0,共有1 1個數,但這1 1個數出現不是等可能的,比如數字之和為0只有一種可能(0+0=0),而數字之和為1就有兩種可能(1+0=1或0+1=1)。

正解:注意依次取兩張卡片是有序的,構建二元有序實數對轉化為等可能,從每個口袋中各取一張卡片,組成62=3 6(種)有序卡片對,其中兩個數之和等于7的卡片對為(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),共4種情況,故兩張卡片上的數之和等于7的概率

警示:從兩組元素中依次抽取兩個元素研究其數字和的問題,可以構建有序實數對使“非等可能”事件轉化為“等可能”事件,利用古典概型計算公式求解。

誤區2——混淆“等可能”與“n次獨立重復實驗恰有k次發生”

例2 冰箱中放甲、乙兩種飲料各5瓶,每次飲用時從中任意取1瓶甲種或乙種飲料,取甲種或乙種飲料的概率相等。

(1)求甲種飲料飲用完畢,而乙種飲料還剩下3瓶的概率。

(2)求甲種飲料被飲用的瓶數比乙種飲料被飲用的瓶數至少多4瓶的概率。

(2)甲種飲料被飲用的瓶數比乙種飲料被飲用的瓶數至少多4瓶包括3種情況:①甲被飲用5瓶,乙被飲用1瓶,有種;②甲被飲用5瓶,乙沒有被飲用有種;③甲被飲用4瓶,乙沒有被飲用,有種。故甲種飲料被飲用的瓶數比乙種飲料被飲用的瓶數至少多4瓶的概率為

剖析:錯解中是把飲用甲、乙兩種飲料當作一次性取出,而每瓶被飲用的概率相等,所以用“等可能事件的概率”來解決是錯誤的。實質上,每瓶飲料是一次次地取出飲用的,且甲、乙兩種飲料每次被飲用的概率都為,故應構造“n次獨立重復實驗恰有k次發生的概率”來解。

正解:(1)設“飲用一次,飲用的是甲種飲料”為事件A,則甲種飲料飲用完畢,而乙種飲料還剩下3瓶的概率,即求7次獨立重復試驗中事件A發生5次的概率為

(2)甲種飲料被飲用的瓶數比乙種飲料被飲用的瓶數至少多4瓶包括上述3種情況,所求概率為P6(5)+P5(5)+P4(4)=

警示:抽后放回與不放回可構造不同的概率模型,抽后放回可構造n次獨立重復試驗某事件發生k次的概率公式進行計算,抽后不放回利用互斥事件合理分類,每類下可構造相互獨立事件的概率或利用對立事件簡化求解概率。

誤區3——隨機變量ξ取值出錯導致分布列中所有事件的概率和不為1

例3 某地最近出臺一項機動車駕照考試規定:每位考試者一年之內最多有4次參加考試的機會,一旦某次考試通過,便可領取駕照,不再參加以后的考試,否則就一直考到第4次為止。如果李明決定參加駕照考試,設他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9。求在一年內李明參加駕照考試的次數X的分布列。

錯解:隨機變量X可取1,2,3,4,P(X=1)=0.6,P(X=2)=0.4×0.7=0.2 8,P(X=3)=0.4×0.3×0.8=0.0 9 6,P(X=4)=0.4×0.3×0.2×0.9=0.0 2 16。

所以李明參加駕照考試的次數X的分布列如表1所示。

表1

剖析:對事件“X=4”不理解,導致分布列中所有事件的概率和不為1,“X=4”表示李明前3次均沒通過,而第4次可能通過也有可能不通過。

正解:隨機變量X可取1,2,3,4,則P(X=1)=0.6,P(X=2)=0.4×0.7=0.2 8,P(X=3)=0.4×0.3×0.8=0.0 9 6,所以P(X=4)=0.4×0.3×0.2×(0.9+0.1)=0.0 2 4,或利用性質求解P(X=4)=1-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)=0.0 2 4。

所以李明參加駕照考試的次數X的分布列如表2所示。

表2

警示:在確定隨機變量取值時,找出關鍵詞,理解隨機變量ξ的實際意義。準確列出隨機變量ξ的所有可能取值,且注意ξ=0是否符合題意,只有這樣才可避免出錯。有時可用概率分布列的性質p1+p2+p3+…+pn=1檢驗分類是否完備或簡化求解某個取值的概率。

誤區4——對概率模型中各個參數的含義理解不清致錯

例4 從一批含有1 3只正品、2只次品的產品中,不放回地抽取3次,設抽得的次品數為ξ,求E(5ξ+1)。

錯解1:隨機變量ξ服從二項分布B(n,p),這里獨立重復試驗的次數n=3,在一次試驗中事件(次品)發生的概率,則得 E(5ξ+1)=

剖析:錯解1誤認為隨機變量是獨立的,服從二項分布,而本題中變量與前后有關系,是不獨立的,即變量不服從二項分布,不能用E(ξ)=n p來計算期望。錯解2中,對于ξ=1這種情形,表示從1 3只正品中取1只正品后(不放回),再接著從剩下的1 2只正品中取1只正品(不放回),C12表示從2只次品取1只次品,這時,對這3只產品進行全排列,得其實,1 3只正品被抽取的機會是均等的,取得的2只正品前后沒有關系,應視作一種情形,只要看1只次品所取的位置,既有3種方法,則

正解:先選后排,正次品選定后注意正品為相同元素,只需要排定次品的位置就唯一確定了此時相同正品的位置,則P(ξ=1)=同 理,所以

警示:不放回地抽取,在理解隨機變量取值的意義下,先選后排,且注意次品選定后正品是相同元素與次品排位的“一一對應”關系,排定次品就唯一確定了正品,利用這種對應關系就可以避免重復計數。