淺談圓錐曲線的焦點三角形

■河南省溫縣第一高級中學 薛芳芳

在解析幾何中,《圓錐曲線》這一章在數學學習中占很重的分量,橢圓、雙曲線中有一類比較典型的問題,就是所謂的焦點三角形問題。焦點三角形的一個頂點在橢圓(或雙曲線)上,其余兩個頂點是該橢圓(或雙曲線)的兩個焦點。焦點三角形的問題往往與圓錐曲線的離心率、三角形的面積、三角形的周長和距離、角度等有關。此類問題能夠較好地考查同學們對數形結合、函數與方程、轉化與化歸等數學思想的掌握情況。下面我們主要探討一下有關焦點三角形與圓錐曲線的離心率方面的問題。

例1 已知F1,F2是雙曲線(a＞0,b＞0)的左右焦點,以|F1F2|為直徑的圓與雙曲線交于不同的四點,順次連接焦點和這四個點恰好組成一個正六邊形,則該雙曲線的離心率為____。

圖1

解析:如圖1,根據題意,易知△P F1F2為直角三角形,∠F1P F2=9 0°,∠P F2F1=3 0°,所以又|P F2|-,所以,即

點評:本題主要是利用雙曲線的定義進行解題,這道題可以變化為其他題。

變式一:如圖2,F1,F2是雙曲線=1(a＞0,b＞0)的左右焦點,A,B是以O為圓心,|O F1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點,且△F2A B為等邊三角形,則該雙曲線的離心率為____。

圖2

變式二:以橢圓的焦距為直徑的圓交橢圓于四個點,這四個點連同兩個焦點恰好是一個正六邊形的六個頂點,則該橢圓的離心率為____。

例2 過橢圓的左焦點F作直線交橢圓于A,B兩點,若|A F|∶|B F|=2∶3,且直線與長軸的夾角為,則橢圓的離心率為____。

解析:設A F=2m,B F=3m,準線為l,作A A1⊥l,B B1⊥l,垂足分別為A1,B1,過A作A D⊥B B1,交B B1于點D,由第二定義知,所以,所以,在△A D B中,所以,即

點評:本題綜合考查橢圓的離心率與直線傾斜角,考查橢圓的性質和橢圓第二定義,還考查同學們的計算能力。

由例2我們可以得到一些結論:

結論3:過拋物線y2=2p x的焦點F作直線交拋物線于A,B兩點,若|A F|=m,|B F|=n,直線與拋物線的對稱軸的夾角為θ,則有

關于圓錐曲線的焦點三角形,本文只是談一下自己的簡單理解,希望能夠對同學們的學習有所幫助,還有許多重要的性質值得我們去挖掘、研究。