“全景式”構建植樹問題模型的實踐與探索

陳愛蘭

摘 要：“植樹問題”是新課程改革后，小學數學教材新增的一塊內容，因為相對獨立，經常被教師選作教研課的內容，也有多位名師曾展示過這節課，研究眾多。怎么樣讓教師的思考轉變成學生的思考和體驗，而不是為了標新立異？怎樣“全景式”構建植樹問題的模型？以三次實踐為線索展開，呈現所作的探索與思考。

關鍵詞：植樹問題；全景式；問題模型

“植樹問題”本質上是關于點數、間隔距離、間隔數三者關系的問題，在日常生活中比較常見，但不同“植樹方法”的模型有細微差別，因而學生學習起來普遍感到比較困難。原來安排在人教版實驗教科書四年級下冊“數學廣角”學習時，教材按直線上種樹、封閉線上種樹兩大類，“兩端都種”“兩端都不種”“只種一端”和“方陣問題”四小類分課時教學。2011年《義務教育數學課程標準》修訂后，“植樹問題”調整到五年級上冊“數學廣角”單元，刪除了“方陣問題”，代之以“封閉種樹”，基本還是按兩大類、四小類一步一小類“分鏡頭”式教學。教材這樣編排，學生理解起來是容易多了，知識的聯系卻不緊密，學習的實踐性、探究性不強，體驗不足，要記憶的東西卻不少，因而遺忘也很快。

有沒有可能，通過素材重組，改變教材的呈現順序和分類方法，在一節課的時間和空間里，使植樹問題的所有模型得以簡潔建構？適逢機遇，筆者進行了實踐與探索。

一、“植樹問題”教學嘗試及帶來的思考

【實踐與探索】2017年10月13日，互助共同體上課在自己學校和兄弟學校進行了多次磨課。下面是第三次上課的課堂表述：

（一）課堂描述

1.情境引入，揭示課題

呈現三個情境：從中間剪斷紙條；大橋柱子與鐵鏈；圓形水池欄桿。引導畫圖表示。

歸結并揭題：總距離÷間隔距離=間隔數

板書：植樹問題

2.問題探究，建立模型

（1）呈現第一層次探究問題：學校要美化校園，需在20 m長的線上每隔5 m植一棵樹，可以怎樣植樹？想一想后用簡潔的方法畫一畫…

嘗試后展示幾個典型信息，引導思考：同樣是4個間隔，有什么不同？

用紙條直觀演示化封閉為開放，引導學生初步分成三種基本情況。

（2）呈現第二層次探究問題：如果是在25 m、30 m、35 m…的線上，每隔5 m植一棵呢？還是先畫一畫，再說一說。

引導學生通過觀察思考，借助數據計算驗證，得出三個基本模型。

3.初步運用，體會關鍵

師：解決植樹問題，你覺得需要注意什么？

4.反思學習，課堂小結

師：這節課，我們共同研究了什么？你有什么感想？

（二）教學反思

第一層次為初步研究，由于受到引入環節暗示，探究方向更為明確，表示探究成果抽象度更高了，利用實物畫圖的只占班級學生，至少能畫出一種植樹方法的占。第二個層次為深入研究，經過第一次研究后的分類和思考，的學生有選擇地很順利完成了畫圖、小組討論等活動。通過材料重組，只用了兩個關聯問題引導學生去探究，就得到了植樹問題所有信息，打破了教材3課時的編排方式，避免了同一層次學習過程短時間內過多地簡單重復。而且教材例題被改編成練習，更高凸顯了“審題方法”“植樹情況與相應文字描述轉換”的感悟。探究已經比較得法，為什么模型的提煉和理解還是讓部分學生遲遲作不出反應？假如數據大了怎么辦？如何“全景式”構建？

（三）改進對策

1.關注植樹問題包含的數學思想

本次實踐中，模型建立產生短暫卡殼現象，在于有時根據表象建模，激烈易產生偏差，這里“兩端都種”“兩端都不種”導致的理解歧義。所以教學要由憑借表象和數據計算建立模型，過渡到依據內在思想理解、歸納規律。這個內在規律就是“一一對應”思想。

2.素材組織利用還需改進和深挖潛在價值

實踐中，應該說幾個素材在承載知識、驅動探究、運用鞏固等方面起到了不同的作用，還是比較適切的。好的素材，如果沒有一條線索把它們串聯起來，也不過是散亂的“珍珠”。串聯植樹問題相關材料是問題的數學本質，而非“種樹”。需要思考的是，怎么提供素材，怎么為學生建構模型、體驗方法、感悟思想做好服務，怎么更好地現實“全景整合”。

【幾次教學實踐觸發的思考】“植樹問題”需要怎么“創新地教”。

（1）抓住知識前情，關注學生起點。改版前和改版后的人教版教材，都是直接用“校園植樹”情境引入的，貼近現實，可離學生的經驗并非是最靠近的，而且也不具突破難點的作用。第二次課堂實踐的引入情境貼近學情，但是還沒有最切合植樹問題的知識情境及學生的學習起點。所以，引入應該從學生的學習起點“間隔排列”和知識前情“一一對應”做起。

（2）重組材料，精簡模型。僅靠教材的三個例題是有局限性的，模型的外延應該再擴展一些才能豐富模型的內涵。這樣就需要重組材料，設計一些任務，讓學生合作探究，形成不同的學習資源，引導學生進行分類比較、分析交流，形成植樹問題知識的“全景”，從整體出發，建立精簡的模型。上面的實踐有這樣的發展趨勢，但還不夠，還要創設更大的思維空間。

（3）滲透思想方法，溝通模型。通過兩次教學實踐，植樹問題的幾個模型雖然有些變化，通過引導得當，學生完全可以把它們溝通起來，從而使學習產生質的飛躍。很遺憾，兩次實踐都沒有突破。如果再次教學，就需要引導學生體驗和經歷過程，感悟和理解模型包含的共性東西，以它為統領溝通全部模型，使三個模型再升華為一個數學思想，這就是“一一對應”思想。

二、“全景整合式”構建植樹問題模型的構想

基于以上思考，把教學目標設定個為：（1）知識技能上，能感悟并歸納說明三種不同情況的植樹棵數和間隔數之間的關系；（2）過程方法上，能憑借數形結合的手段，通過獨立思考、觀察交流、特點歸類等方法，研究發現三種植樹問題的模型，感受對應思想；（3）情感體驗上，在嘗試、思考、交互學習中體驗成功感，增強學習自信。

學習總策略設想為：以教材整合重組為手段，通過探究生成資源，改變教材一個課題一個知識點的“小鏡頭”編排形式，從知識整體出發，把植樹問題的幾個模型組合在一起，創建一個大背景，形成大思維空間；以實際運用和對應思想為紐帶，溝通模型，感悟植樹問題的本質。兩方面的綜合，就是本文所講的“全景整合式”構建。

“全景式”構建植樹問題模型，包含的意思可用下面結構圖表示。

三、“全景整合式”構建植樹問題模型的實踐與探索

【第三次實踐與探索】2017年10月28日，互助共同體數學賽課活動。

（一）課堂描述

1.材料引入，明確任務

呈現三個材料，引導學生觀察、思考、交流。

（1）□△□△□△□△…□△□△如果□有68個，則△有（ ）個。

師追問：一個□、一個△間隔循環排列，還可以理解成□和△怎樣對應？

板書：間隔一一對應

（2）□△□△□△□△…□△□如果□有78個，則△有（ ）個。

（3）如果□有88個，則△有（ ）個。

師：誰能再解釋一下，△為什么要少1個？

師：和前面的排列形式不同，還是一一對應的嗎？

過渡，揭示課題。

2.引導研究，建立模型

（1）第一層次問題研究：某校組織各班植樹綠化校園，在植樹中他們遇到一個問題。需要在20 m長的線上植樹，每隔5 m植一棵，植得有形些，可以怎么植？需要多少樹苗？

學生嘗試用自己的方法畫圖，教師巡視并收集信息。

反饋學生信息，引導評價。

導思：同樣是4個間隔，有什么不同？補充板書：總距離÷間隔距離=間隔數。

學生歸納“兩端都種，兩端都不種，只種一段，種成圓形”4種情況。

師追問：種成圓形就是首尾相連封閉種樹，要是展開來，你覺得和之前哪種最有聯系？

學生猜測后，把直線植樹、封閉植樹的四種情形合并分類為三種基本類型。

師追問：封閉種，只能種成圓形嗎？

（2）第二層次問題研究：如果是在25 m、30 m、35 m…的線上，每隔5 m植一棵，可以怎么植？需要多少棵樹苗？

學生選擇一種栽法操作，教師巡視收集信息，反饋整理，小組討論后全班交流。

抓住時機，指個別同學上黑板用彩色箭頭表示“一一對應”。

師追問：如果距離再長一些，還有這樣的規律嗎？

3.初步運用，感悟關鍵

呈現編自例題的問題，引導學生獨立練習：（1）同學們在長100 m的小路一邊植樹，從頭到尾每隔5 m栽一棵。一共要栽多少棵樹（2）大象館和猴山之間相距60 m。要在兩館間的小路兩旁栽樹，相鄰兩棵樹距離是3 m。一共要栽多少棵樹？

（3）小明家門前有一條35 m的小路，要在路的一旁每隔5 m栽樹，起點不栽，終點要栽。一共要栽樹多少棵？

引導感悟：想一想，解決植樹問題，需要先求出什么？關鍵要弄清什么？

4.實踐運用，體會本質

呈現練習：邊默讀邊思考，這里什么是“間隔”？什么是“樹”？問題怎么解決？

（1）5路公共汽車的行駛路線全長12 km，相鄰兩站之間路程都是1 km。共設有幾個車站？

（2）馬拉松比賽全程約42 km。平均每3 km設置一處飲水服務點（起點不設，終點要設），全程一共有多少處這樣的服務點？

5.反思總結：這節課你學到了什么？我們是怎么研究的？

（二）教學反思

首先，這次實踐不再用情境引入，而是選擇數學特征更強的素材，即三角形和正方形的有序排列。有直線排列，也有封閉排列，有剛好對應的，也有不完全對應的。與第二次實踐比，優越之處在于：既隱含有“植樹”的不同方式，又蘊含著“對應思想”。這樣就做到了知識前情、學習起點和方法指導兼顧。讓學生通過觀察、比較和思考，受到暗示，有所感悟，為即將展開的探究作了鋪墊。

其次，延續了第二次實踐中利用大問題分層推進探究的做法，但在討論中有意識地引導學生從“一一對應”角度建立模型，有效消除了“兩端都種”要“+2”“兩端都不種”就“-2”的尷尬。也避免了通過數據計算驗證模型的局限性，對模型本質的揭示更清晰。通過追問，想象“更長距離植樹”具有同樣規律，擴大了概念的外延，思維的空間更大了，模型構建更科學。通過操作觀察、小組合作、討論交流，用課堂生成的資源，自然地呈現了植樹問題模型“家族的全體成員”，知識整體性更強。

再次，全課從感受思想方法開始，到經歷對應思想建構模型的過程，然后感悟運用關鍵，接著增加了生活中的“植樹問題”拓展體驗，整個過程形成“植樹問題”學習的“全貌”。通過學習學生不但知道了植樹問題是與“種樹”有關的問題，而且感悟到了生活中“非種樹”的問題，只要是與間隔距離、間隔數和點數有關，它也是“植樹問題”。這就由一個問題的學習上升為一類問題的學習，所以，植樹問題模型的建立是“全景整合式”的，比前幾次實踐更完整、更合理。

（三）改進對策

1.從新舊知識聯系的角度出發，借助“平均分”融會貫通總距離、間隔距離和間隔數之間的關系

“每隔x”植一棵，和經驗中的“平均分”聯系最緊密，植樹問題和平均分都有“不重復、不遺漏”的相同含義在里面。

2.從構建大問題、增強思考性角度看，可以和實踐中那樣還是放在探究環節

關鍵是，當組織反饋后，挖掘學生信息時，教師不要越位，盡量減少“教”和“給”的痕跡，把握契機，利用適時追問，引導學生就素材進行再思考，解決機制的感悟問題。

總之，無論是關注過程還是材料重組，無論是學法指導還是放手探究，無論是感悟關鍵還是體驗思想方法，前提都是站在知識的整體角度去把握教材，研究學習資源的內在線索，在精簡高效思想指導下串小問題為“全景式”。關鍵還是要針對合適的教學目標，充分挖掘材料的多重價值和相互聯系，從而讓系列素材暴露出學習內容的數學本質。

事實上有許多課的教學都存在與“植樹問題”類似的情況，怎么繼承和創新尤為重要。比如：“乘法口訣”教學、“大數的認識”教學、“三角形特征”教學、“用字母表示數”教學、“方程與解決問題”教學、“長方體和正方體的認識”教學、“分數加減法”教學、“分數乘法”教學等。只要我們認真分析，深入思考，勇于實踐，就有可能實現某塊知識的“全景式”教學，就有可能做出少許的自我超越。

編輯 段麗君