一道三角函數有理式不定積分的計算方法探討

胡艷霞

摘 要：本文對一道三角函數有理式不定積分進行了多種解法的探討，運用了不定積分的多種積分方法，其中綜合應用了湊微分、第二類換元法（包括三角代換和倒代換）和分部積分法，而且把不定積分的幾種主要積分方法給學活了。通過一題多解，有利于學生突破思維的局限性，拓寬學生的解題思路，幫助學生掌握不定積分方法之間的縱橫聯系，進而培養學生的發散思維和綜合能力。

關鍵詞：三角函數有理式 不定積分 一題多解 高等數學

中圖分類號：O172.2 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）08（c）-0194-02

Abstract： In this paper， a trigonometric function rational expression indefinite integral discussed a variety of solution. It is helpful for students to break through the limitations of thinking through multiple solutions， widening the thinking of solving problems of students， further training students' divergent thinking and comprehensive ability.

Key Words： Trigonometric function rational expression； Indefinite integral； Multi-solutions； Higher mathematics

不定積分是《高等數學》的一個非常重要的內容，也是微積分學的一個重要組成部分。而計算不定積分是積分的一塊核心內容，由于不定積分的計算方法因題而異、靈活多變、技巧性比較強，這對于初學者來說是一個難點。高等數學教材給出了計算不定積分的常用方法有：直接積分法、第一類換元積分法（即湊微分法）、第二類換元積分法（包括根式代換、三角函數代換、倒代換及萬能代換等）和分部積分法。近年來，對于不定積分的一題多解，已有不少學者在這方面做了相關的研究。本文主要討論一道三角函數有理式不定積分的多種解法，希望其能對學生的發散思維和綜合能力有所幫助。

題目：計算不定積分。

（1）萬能積分公式。

（2）第一類換元法（即湊微分法）。

（3）第二類換元法。

（4）分部積分法。

在高等數學的教學過程中，常常會遇到同一道不定積分題目，可以從不同的角度去分析，采用不同的處理方法。對這類題目的分析、求解，不僅可以鞏固基礎知識、開拓學生的解題思路，還有利于學生養成將各種公式與解題方法融會貫通、靈活運用以及從多種角度思考問題的良好習慣，這樣不僅達到了舉一反三、觸類旁通的教學效果，還有利于提高學生學習數學的興趣和提高數學教學改革的成效。

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