淺析中值定理中的構造輔助函數法

郭秀榮

摘 要：微分中值定理反映了導數與函數的關系，建立了導數的局部性與函數整體性的聯系，利用微分中值定理可以證明有關的等式或者不等式，有著非常重要的價值。本文利用構造輔助函數法給出了拉格朗日中值定理和柯西中值定理的另一種證明方法。

關鍵詞：羅爾中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 構造輔助函數法

中圖分類號：O172 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）08（c）-0157-02

微分中值定理反映了導數的局部性與函數整體性的關系，有著非常重要的應用價值。高等數學中介紹了3個微分中值定理，分別是：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。本文首先回顧拉格朗日中值定理和柯西中值定理，給出利用構造輔助函數證明這兩個中值定理的另一種證明方法，然后將其應用于等式的證明中。

首先我們利用構造輔助函數法證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

1 構造輔助函數法證明拉格朗日中值定理

定理1：拉格朗日中值定理

若函數滿足下列條件：

（1）f（）∈C[a、b]；

（2）f（）∈D[a、b]。

則至少Eξ∈（a、b），使得f'（ξ）=。

證明：令=k （1）

則只需證明f'（ξ）=k。由（1）變形得：f（b）-kb=f（a）-ka

構造輔助函數：F（）=f（）-k，顯然F（b）=F（a） （2）

由f（）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導，可得，

F（）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導。 （3）

因此，由（2）和（3）知F（）滿足羅爾中值定理條件，所以，至少Eξ∈（a、b），使得f'（ξ）=0，即f'（ξ）=k。

2 構造輔助函數法證明柯西中值定理

定理2：柯西中值定理

設函數G（），g（）滿足下列條件：

（1）G（），g（）∈C[a，b]；

（2）G（），g（）∈D（a，b）且g'（）≠0，∈（a，b）。

則至少Eξ∈（a，b），使得

證明：令，=k （4）

則只需證明=k，即證明Eξ∈（a，b），使得G'（ξ）-kg'（ξ）=0。

由（4）變形得：G（b）-kg（b）=G（a）-kg（a） （5）

構造輔助函數，令H（）=G（）-kg（），則由（5）知：

H（b）=H（a） （6）

又因為G（），g（）∈C[a，b]，G（），g（）∈D（a，b）

所以G（）∈C[a，b]，G（）∈（a，b）. （7）

由（6）和（7）知H（）滿足羅爾中值定理條件，所以至少Eξ∈（a，b）使得H'（ξ）=0，即：G'-kg'（ξ）=0，即=K。

3 構造輔助函數法應用舉例

構造輔助函數法的思想：從要證明的等式入手，只需令常數部分為k，然后將其整理成兩端對稱相等的形式，從而構造出輔助函數，只需證明其滿足羅爾中值定理，即可借助羅爾中值定理證明出等式成立。

例：若g（）在[a，b]上可導，ab>0，試證Eξ，（a<ξ

證明：令=k （8）

只需證明g（ξ）-ξg'（ξ）=k，由（8）整理得=k，

即：

令H（）=，則有H（b）=H（a） （9）

又因g（）在[a，b]為上可導，所以H（）在[a，b]上可導 （10）

根據（9）（10）可知，滿足羅爾中值定理，因此Eξ，（a<ξ

4 結語

本文首先利用輔助函數給出了拉格朗日中值定理和柯西中值定理的另一種證明方法，我們稱之為構造輔助函數法，然后將這種方法應用于等式的證明，并給出了構造輔助函數法的思想和步驟。實際上，構造輔助函數法不僅可以借助于羅爾中值定理證明等式，也可以利用構造輔助函數法結合拉格朗日中值定理、單調性以及曲線的凹凸性等應用于不等式的證明中。

參考文獻

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