例析兩直線的平行與垂直

周沁人

摘 要：直線的平行與垂直是兩直線位置關系中的重要內容，關鍵是注意判斷的方法.

關鍵詞：平行；垂直；參數；變量

我們先來認識對兩直線的平行與垂直的判定，如果給出的是兩條斜截式方程（即直線的斜率存在），直線l1∶y = k1 x + b1 ，直線l2∶y=k2x+b2，l1∥l2的等價條件是k1=k2，b1≠b2；l1⊥l2的等價條件是k1·k2=-1；需要注意的是∶判斷兩條不重合的直線l1與直線l2平行，可判斷兩直線的斜率k1=k2（兩直線的斜率都存在），也可判斷兩直線的傾斜角相等.在利用k1=k2來判斷l1與l2平行時，一定要注意直線的斜率存在與否，但是在利用傾斜角相等來判斷兩直線平行，則無需討論.而對于兩直線垂直，需要注意的是兩條直線的斜率都存在，也可能是其中一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在.

若給出的是一般式方程：l1∶A1x+B1y+C1=0，直線l2∶A2x+B2y+C2=0，則若兩直線平行，在兩直線斜率存在的情況下，則有A1A2=B1B2≠C1C2；在兩直線斜率不存在的情況下，則有B1=B2=0且A1A2≠C1C2；若兩直線垂直，則有A1A2+B1B2=0.

探點一 判斷兩直線的位置關系

例2 已知過點A-2，m和Bm，4的直線與直線2x+y+1=0平行，則m的值為.

分析 由于過兩點的直線和已知直線平行，則兩條直線的斜率相等，通過該思路解決問題.

解 因為kAB=m-4-2-m，而直線2x+y+1=0的斜率k=-2，因此kAB=m-4-2-m=-2，所以m=-8.

例3 當a為何值時，直線l1∶a+2x+（1-a）y-1=0與直線l2∶a-1x+（2a+3）y+2=0互相垂直？

分析 通過利用兩條直線垂直的條件求解.

解 由題意得到l1⊥l2，a+2a-1+1-a2a+3=0，則可求得a=1或a=-1，兩個值都適合.

反思 兩條直線平行，則斜率相等或斜率都不存在，因本題中已知一直線斜率k=-2是定值，故另一直線斜率也一定存在.兩直線垂直用A1A2+B1B2=0的結論解決不會漏解.

探點三 利用兩直線的平行與垂直關系求直線方程

例4 求與直線3x+4y+1=0平行，且在兩坐標軸上截距（均不為零）之和為73的直線l的方程.

所以所求直線l的方程為3x+4y-4=0.

例5 求過點A2，1，且與直線2x+y-10=0垂直的直線l的方程.

分析 由于與直線Ax+By+C=0垂直的直線的斜率互為負倒數，故可得其方程為Bx-Ay+λ=0，這是常用到的解題技巧.

解 設與直線2x+y-10=0垂足的直線方程為x-2y+λ=0.

因為直線l經過點A2，1，所以2-2×1+λ=0，解得λ=0.故所求的方程為x-2y=0.

反思 解決上述兩類問題除了直接設方程外，還可以尋找直線斜率之間的關系，若兩直線平行，則斜率相等；若兩直線垂直，則兩直線斜率乘積為-1.

探點四 已知兩直線位置關系求變量

例6 m-2x+15y+2m=0，直線l2∶x+my+65=0，當m為何值時，l1與l2（1）平行；（2）重合；（3）相交；（4）垂直.

分析 上述問題給出的是直線的一般式方程，則可利用平行、重合、相交及垂直的條件就可判斷.

分析 本題是一道探索題，一般地，我們先假設存在，若推導過程中產生矛盾，則假設不成立，本題隱含一個條件a2+2b-1≠0，否則與一元二次方程的定義相矛盾.

反思 第一問是以集合的形式出現，歸結為坐標平面上兩條直線位置關系的討論，主要通過分類討論的思想來解決問題.第二問是抓住兩直線的位置關系來解決問題.

直線的平行與垂直是兩直線位置關系中的重要內容，把握確定方法與計算方法則是關鍵.endprint