解三角形的兩種思想方法對比探究

王元凱

摘 要：本文主要針對在解三角形中，已知一角及其對邊求取值范圍一類問題的幾種思想方法進行對比研究.

關鍵詞：解三角形；取值范圍；函數思想；不等式思想

在解三角形中，我們經常會遇到已知一角及其對邊，求周長，面積等的取值范圍這一類題型.在解決這一類題型中常用的思想方法有數形結合思想、函數思想、不等式思想等，本文主要對其中的后兩種進行示范講解并進行對比研究.

題目 在△ABC中，B=π3，AC=3，求周長l與面積S的取值范圍.

分析 在一個三角形中，相關量一共有六個，其中包括三個角和三個邊，我們學過的解三角形知識中，可以解決已知其中任意三個量（至少含一條邊），求解其他量的問題.而本題中僅知道兩個量，即一角和這個角的對邊，求周長和面積的取值范圍.那么我們首先就要找到三角形中除了已知的邊角外還有哪些量也是固定不變的.

解 由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R可知，△ABC的外接圓半徑R=1，如圖1所示，△ABC的一邊AC作為外接圓的一條弦，由于弦長不變，所以弦心距保持不變，而∠B=π3，則說明B點是在優弧AC上運動，容易看出，當B點運動到D點（弧AC的中點）時周長和面積最大，此時周長等于33，面積等于334；當B點運動到無限趨近于A點（或C點）時，周長與面積最小，此時周長無限接近于23，面積無限趨近于零.

本方法用到了數形結合的思想方法，但是，對于所得到的結論缺少嚴謹的理論證明基礎，且僅適用于有幾何意義的量的取值范圍.因此，只建議在做選擇題、填空題時用來參考.在后文中將不再贅述.

那么，如何嚴謹的證明上述結論呢？不難看出證明結論的過程也是求解的過程.

分析 在一個三角形中，已知一角和這個角的對邊，求周長的范圍即是求這個角兩條鄰邊的和的范圍，而面積S=12acsinB，所以求面積范圍就是求這個角的兩條鄰邊的乘積的范圍.如果將這兩條邊的和（積）看成一個函數的話，那么這個函數中變量有兩個，即該函數是一個二元函數，如果我們能將這二元函數化為一元函數的話，那么該問題就轉變成為求一元函數值域的問題了.

此種思想方法是將多元變量轉化為單元變量，運用函數思想進行解題，這種方法被稱為變量化一法.

我們可以看到，在運用變量化一法求解問題時，計算過程稍顯復雜，那么是不是有在計算上相對容易一些的方法呢？

分析 在三角形中，已知b邊，B角，求a+c和ac的取值范圍.從形式上觀察，不難聯想到我們所學過的不等式，那么如果想通過不等式進行求解我們需要把加和與乘積同不等式中其他量建立聯系，而余弦定理中出現的平方和關系恰好也在不等式中出現過，那么我們就可以用不等式的思想進行嘗試.

此種方法利用到不等式思想，讓不等式中我們不需要的關系消失，使之轉變為我們需要的關系，此種方法被稱為不等式法.可以看出，在運用不等式法進行求解時計算上相對簡單，但需要特別注意的是，在利用不等式法進行求解時，一般只能求出一側的范圍，另一側的范圍需要通過其他條件推出.例如本題中很多同學容易忽略兩邊之和大于第三邊或三角形面積大于零這類前提條件.

那么變量化一法和不等式法之間到底如何進行合理選擇呢？我們針這個問題進行具體的對比探究分析.

對于本題來說，不等式法將完全無法使用，因為a與c前的系數不相等，所以無論使用“調幾算平” （調和平均數不大于幾何平均數不大于算數平均數不大于平方平均數）還是使用柯西不等式都無法進行求解.

綜上所述，對于“λa+μb”這種一次型以及絕大部分常見形式來說，運用變量化一法，更為合理，例如變式二中當λ≠μ時，不等式作法完全無法使用.而對于不等式中出現的一些形式（比如a+b，ab，a2+b2，1a+1b等）比較適合用不等式思想來解題，但是要注意不等式思想只能解決一側的范圍，對于另一側需要通過一些其他條件來推出.endprint