從知識結構梳理到多解生成

周瑞永+鄭旭常

摘 要：本文根據寧波一中考試題闡述依據提供的條件及解題目標，聯想已有知識和解題經驗，確定和選擇思維方向、對象以及思維角度進行同化或順從，完善認知結構，體現學生思維品質和數學素養.

關鍵詞：結構；構造；創新；核心；素養

解無定法，實則有法，這就要根據試題提供的條件及解題目標，聯想已有知識和解題經驗確定和選擇思維方向、對象以及思維角度進行同化或順從，迅速的判定解題的大方向，減少誤入歧途的可能，才能贏得時間，贏得正確率.現筆者對2017年寧波市中考試卷中的第18題通過梳理知識結構，進行解法探討，以供大家參考.

題目 （2017寧波）如圖1，在菱形紙片ABCD中，AB=2，∠A=60°，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F、G分別落在

邊AB、AD上，則cos∠EFG的值為.

分析 此題是一道動手操作型試題，由已知條件菱形ABCD和圖形翻折可以得到一些隱含結論；其次解題目標求∠EFG的三角函數值，聯想到三角函數值的定義法、面積法、余弦定理、正弦定理、角度大小不變三角函數值就不變的性質等方法破解.

一、利用線段中點，構造圖形破解

1.利用線段中點E，構造全等三角形

解法一 如圖2，延長AE、BC交于點H，過點H作HK⊥AB交直線AB于點K.

思路分析 抓住點E是CD的中點，聯想到常規輔助線“延長一倍構造全等三角形”，結合菱形ABCD的性質，容易得到△DAE≌△CHE，其次利用圖形翻折可得到AE⊥GF，最后角度不變三角函數值就不變的性質破解.

解法延伸 利用圖形翻折可得到AE⊥GF和AM=ME，結合HK⊥AB，從而得到△AMF∽△AHK，所以AFAH=MFHK=AMAK，求得AF=74，MF=214.

所以 cos∠EFG=MFAF=21474=217.

2.利用線段中點M作平行線，構造相似三角形

解法二 如圖3，過點M作MH∥AB交AD于點H，過點M、H分別作AB的垂線交直線AB于點P、T.

思路分析 由圖形折疊得到的隱含條件AE垂直平分GF，結合已知條件DE=1，AD=2，所以抓住中點M作平行線，構造相似三角形，易得AH的長度，其次，利用基本圖形（如圖4）“直角三角形構造斜邊上的高線”求解.

二、過E作AB的垂線，構造圖形破解

1.構造含有公共邊的兩個直角三角形的基本圖形

思路分析 利用菱形的性質和折疊中所隱含的條件，通過對知識結構的梳理，過點E作垂線構造不同的基本圖形破解，在這里關鍵是線段AE的長度求解，除解法一、解法二的方法求解AE的長度外，實際上也可以利用余弦定理求解.

如在△DAE中，AE2=AD2+DE2-2AD·DE·cos∠ADE.所以 AE2=22+12-2×2×1×cos120°.所以AE=7.

三、利用平行線結合線段中點構造全等三角形與相似三角形破解

解法七 如圖6，延長FG、CD交于點H.過點E作EQ⊥AD，垂足為Q.

思路分析 求∠EFG的三角函數值，易想到在Rt△AMF中求AF的值，結合菱形和折疊的知識結構，思考DG、AG的長度能否得出，從而構造相應的輔助線，利用特殊角度和相似三角形破解.

四、利用等積變形，構造圖形破解

思路分析 由折疊的特殊性質“對稱軸垂直平分對應點的連線段”產生直角，所以利用面積的不變性和面積的不同表示構造方程解答.

解后反思

1.深刻認識問題結構，挖掘隱含條件，尋找解題的出發點、解題路徑，轉化為一類幾何結構或基本圖形. 老子曾在《道德經》中說過“一生二，二生三，三生萬物”，而在數學知識結構分析，這個 “一”可以理解成數學最為基礎核心的本質概念和內容，如菱形、相似三角形、軸對稱圖形的概念及性質、三角函數的概念等掌握情況；這個“二”可以理解為數學的解題思想方法和技巧，如三角函數值怎么求，由哪些求法、已知中點怎么構造圖形、已知哪些條件可以構造含公共邊的直角三角形、圖形翻折中可以挖掘哪些隱含條件，以此條件為平臺又可以延伸出哪些知識等，具備了對數學基礎知識本質的理解之后，有了數學解題思想和技巧做幫扶，便有了“三”——順暢自然的給出解題思路.

2.加強歸納，總結提升.在平時數學解題中要及時的對解題方法及數學基本圖形的抽象與提煉，使其思維水平和已有的知識結構相融，建立知識網絡，為解題目標提供方法.如含有公共邊的直角三角形的基本圖形可以通過勾股定理建立方程，通過面積的不同表示方法或不同求法構建方程，通過面積法歸納出正弦定理、余弦定理及在怎樣的條件下應用等等.

3.貫徹“用教材教，而不是教教材”的理念設計教法. 在平時的教案設計中，要研究教材，深刻理解知識的結構安排，研究知識的生長點與延伸點，吃透教材例習題中蘊含的能量與價值，多讓學生經歷知識的發現與提出過程、發生與發展過程、探索與應用過程、方法與規律的概括過程，讓學生逐步積累發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的基本策略和活動經驗，不斷強化學生的數學思維能力和創新能力，提升數學素養.

總之，不同的解法體現學生不同的能力水平與知識的認知結構，也不是去創造某種新的、不同的事物，而是去操控心智中已經存在的認知，去重組已存在的關聯認知，完善認知結構，體現學生的思維品質和數學素養.

參考文獻：

[1]肖川.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀[M].武漢： 湖北教育版社， 2012（2）.endprint