高考“圓”之考查

代宗山

摘要：高考對于圓的考查，可謂是變化多端，巧具匠心，其實萬變不離其宗，無外乎考查了點與圓，直線與圓，圓與圓的基本位置關系.本文舉例剖析了圓的幾個常見題型：角的存在問題，點的存在問題，點的恒成立問題.

關鍵詞：相切；條件；位置關系；交點

題型一角的存在問題

解決策略：如果我們碰到的問題是在圓或直線上是否存在著點，使得與圓相關的一個角為多少度成立，那考慮方法與不等式的成立問題類似，即考慮這個角的最大值，而這個角的最大值往往就是直線與圓相切的時候.

例1設點M（x0，1），若在圓O∶x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，求x0的取值范圍.

分析首先畫出圖像來，注意到角的兩條邊，一條是OM，一條是ON，如果把M看成定點，N看成動點，其實是否存在，只需要考慮∠OMN的最大值，即直線與圓相切的時候.

解設MP與圓O切于點P，連接OP.

因為在圓O∶x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，所以∠OMP≥45°.

所以sin∠OMP≥sin45°=22.

即OPOM≥22，得OM≤2.

所以x2°+1≤2，解得-1≤x°≤1.

例2已知圓M：（x-1）2+（y-1）2=4，直線l∶x+y-6=0，A為直線l上一點，若圓M上存在兩點B，C，使得∠BAC=60°，求點A的橫坐標的取值范圍.

分析與例一不同之處在于圓上存在兩點，其實還是考慮∠BAC的最大值，即直線與圓相切的時候.

解過A做直線AP與圓M切于P，連接MA，MP.

因為圓M上存在兩點B，C，使得∠BAC=60°，

所以∠MAP≥30°.

所以sin∠MAP≥sin30°=12.

即MPMA≥12，得MA≤4.

設M（x，6-x），

所以 （x-1）2+（6-x-1）2≤16.

解得1≤x≤5.

練習在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2+y2-4x=0，若直線y=k（x+1）上存在一點P，使過P所作的圓的兩條切線相互垂直，求實數k的取值范圍.

題型二點的存在問題

常見問題一：直線上存在著點，滿足什么條件，這個條件往往是一個圓，所以最后歸結到直線與圓的位置關系.

常見問題二：圓上存在著點，滿足什么條件，這個條件往往是一個圓，所以最后歸結到圓與圓的位置關系.

例3在平面直角坐標系xOy中，點A（1，0），B（4，0），若直線x-y+m=0上存在點P使得PA=12PB，求實數m的取值范圍.

分析點P一方面在直線上，另一方面又滿足PA=12PB，滿足這個條件的點的軌跡又是什么呢？不難猜到，是一個圓.所以問題的本質就是直線與圓有交點.

解設P（x，y），因為PA=12PB，

所以4（x-1）2+4y2=（x-4）2+y2.

化簡得x2+y2=4.

因為直線x-y+m=0上存在點P使得PA=12PB，所以直線x-y+m=0與圓x2+y2=4有交點.

所以m2≤2，得-22≤m≤22.

例4 在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l∶y=2x-4.設圓的半徑為1，圓心在l上，若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

分析此題許多同學失敗的地方在于解方程組，掉進了解方程組的漩渦.如果能把數和形結合起來，認識到問題的本質是兩個圓的位置關系，那就不是問題.

解設C（a，2a-4），

則圓方程為（x-a）2+（y-2a+4）2=1.

設M（x0，y0），

由題意（x0-a）2+（y0-2a+4）2=1.

因為MA=2MO，

所以x20+（y0-3）2=4x20+4y20.

即x20+（y0+1）2=4.

因為若圓C上存在點M，使MA=2MO，

所以圓（x-a）2+（y-2a+4）2=1與圓x2+（y+1）2=4有交點.

即兩圓相交或相切.

所以（2-1）2≤d2≤（2+1）2，

即1≤（a-0）2+（2a-4-（-1））2≤9.

所以0≤a≤125.

題型三點的恒成立問題之一

問題常給一個圓，另外給出的條件一般比較開放，叫人摸不著頭腦，但經過我們仔細分析后，最后往往歸結到圓與圓的位置關系.

例5已知線段AB的長為2，動點C滿足CA·CB=λ（λ為常數），且點C總不在以點B為圓心，12為半徑的圓內，求負數λ的最大值.

分析關鍵弄清楚滿足CA·CB=λ（λ為常數）的動點C它的軌跡是什么？

解如圖1，以線段AB所在直線為x軸， B為原點建立坐標系.

設C（x，y），因為CA·CB=λ，又CA=（-2-x，-y），CB=（-x，-y）.

所以x（x+2）+y2=λ.

即（x+1）2+y2=1+λ.

記為圓M，顯然1+λ>0.

因為點C總不在以點B為圓心，12為半徑的圓內，所以圓M：（x+1）2+y2=1+λ與圓B：（x+1）2+y2=1+λ無交點.

所以1≥12+1+λ.

解得λ≤-34，符合1+λ>0.

所以負數λ的最大值為-34.

題型四點的恒成立問題之二

問題一般比較隱蔽，容易與題型三相混，誤以為是圓與圓的位置關系，其實更隱蔽的是考慮和圓相關的最值問題，比如常見的最值問題：圓上一點和圓外一點的距離，圓上一點和圓外直線的距離等等.

例6在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為（x-1）2+（y-1）2=9，直線l：y=kx+3與圓C相交于A，B兩點，M為弦AB上一動點，以M為圓心，2為半徑的圓與圓C總有公共點，求實數k的取值范圍.

分析動中有靜，在變化中善于抓住一點進行突破，不妨取k=1考慮， 不難發現弦AB上和圓距離最遠的點是弦AB的中點，中點離圓上的點的最小距離為 r-d，只要這個距離大于等于2，以M為圓心，2為半徑的圓與圓C總有公共點.

解圓心C到直線AB的距離 d=k+21+k2.

因為弦AB上和圓距離最遠的點是弦AB的中點，

又弦AB的中點離圓上的點的最小距離為 r-d，

所以 以M為圓心，2為半徑的圓與圓C總有公共點，只需要 r-d≥2.

即3- k+21+k2 ≥2，解得k≥-34.

以上給出了圓常見的四種題型，已及對應的模型解法，其實我們在圓的變化運動中，去感受問題的成立和不成立，感受動中有靜，感受極限思想的指引，感受復雜與簡單的交替，是我們最大的收獲.

參考文獻：

[1] 尹杰杰.圓的向量方程巧解平面向量模長最值問題[J].中學數學研究，2017（06）：45-46.

[2] 宋文瑾； 顧旭東.“圓”來如此——記與拋物線有關的七個圓[J].福建中學數學，2016（05）61-62.endprint