通過求解加速度問題進行動力學的研究分析

王曉云，陳 堃，李 夢

（安徽信息工程學院 機械工程系，安徽 蕪湖 241000）

《理論力學》是研究物體機械運動，一般規律的一門學科[1]，包括靜力學運動學和動力學三部分內容，其中動力學是研究物體機械運動與作用力之間的關系，包括了靜力學和運動學研究內容，是兩者之間的有機結合.在課堂教學中，學生對動力學內容理解不夠透徹，掌握不夠扎實，達不到預期的教學目的.究其原因，主要有以下三點，一是研究對象不清晰，動力學內容的主要內容的主要研究對象是剛體，是不變質點系，學生通常將物理中對于質點的研究方法套用在剛體上，造成方法使用錯誤，二是動力學內容多，學時緊.動力學包括動力學普遍定理，虛位移原理、達朗貝爾原理、碰撞和拉格朗日方程的內容，通常只有20多個學時.導致學生對內容掌握不牢固；三是內容難、學生理解不透徹，動力學問題與實踐聯系緊密，涉及內容多，需要具有一定的邏輯分析能力，如果前期學習基礎不夠扎實，對這部分內容的理解會造成很大的困難.

針對以上問題，筆者結合自身教學經驗，通過對一道題求解加速度的眾多方法，悉數動力學主要研究方法，加深學生對動力學內容的理解，力求達到舉一反三.

1 具體實例分析

一輛簡易平板車如圖1.桿的質量是m；兩圓柱體質量分別為m/2，半徑為r；設接觸處都有摩擦，無相對滑動.求當桿上加水平力P時，求桿的加速度.

圖1 簡易平板車

方法一：應用動能定理求導

研究對象去整體，設桿向右移動距離為x，受力及運動分析如圖2.

圖2 受力及運動分析

主動力的功∑W(F)=Px寫出兩個狀態的動能，設初狀態的動能T0，由上知，任意時刻動能T=mv2代入動能定理T-T0=∑W(F),即mv2-T0=Px，

該方法適用于單自由度，系統所含物體較多，約束力復雜的情況，需要注意，利用該方法求解加速度時，系統的動能和功具有一般特性，以便等式兩邊可以同時求導.

方法二：直接應用動能定理

研究對象取整體，設桿向右移動距離x，

根據主動力的功，寫出兩個狀態的動能，設初狀態的動能T0，速度為v0，由上知，任意時刻動能T=mv2.

則，T0=

該方法與方法一適用范圍類似，可以求解速度又可以求解加速度，由于借助運動學關系，補充了兩時刻速度與加速度之間的關系，在問題求解時，可以省略求導這一步，使得運算更加便捷.

方法三：功率方程

研究對象取整體，設桿在拉力P作用下具有向右的速度v，主動力的功率∑P(F)=Pv，且由上易知，將任意時刻動能代入功率方程

該方法利用功率方程能夠快速有效求解加速度，但如果對速度進行分析，需要進一步對加速度進行積分.

方法四：應用動量定理與動量矩定理

先研究桿，受力及運動分析如圖3所示，

圖3 桿的受力及運動分析

水平方向應用質心運動定理，可以得到ma=P-2FS再研究圓柱體，受力及運動分析如圖4所示.

圖4 圓柱體的受力及運動分析

對P點應用頂軸轉動微分方程JPα=F'S·2r，其中α=a=2aC

該方法是一種通用的方法，其核心是平面運動微分方程，具有思路清晰，方法簡潔的特點.然而在求解過程中需要先對系統中各物體進行受力和運動分析，對于復雜系統而言，由于約束力的性質和分布在求解前是不易確定的，使得求解過程變得極為復雜.

方法五：達朗貝爾原理

先研究桿，受力及運動分析如圖5所示:

圖5 桿的受力和運動分析

沿水平方向列平衡方程，可以得到P-2FS-FI桿=0

再研究圓柱體，受力及運動分析如圖4所示.

以P為矩形，列出矩方程，-F'S·2r+FIr+MIC=0,其中，α=

該方法與方法四類似，也是一種通用的方法，然而較方法四，矩方程更為靈活，矩方程的矩心不受任何限制，是次此方法的主要優勢.

方法六：應用拉格朗日方程

取系統為研究對象，此系統具有一定的自由度，選桿的水平位移x為廣義坐標，如圖6所示.

圖6 廣義坐標

計算廣義力（虛功法）：Qx

∑δW(F)=Pδx，則，Qx=P

計算動能：設任一瞬時，桿的平移速度為v，圓柱體純滾動，角速度

由此得：

該方法利用系統能量，建立拉格朗日方程，使得問題的分析變得清晰明了，特別是系統的約束力未知，自由度較多時，優勢尤為明顯.

3 結束語

本文以一道常見例題為對象，利用六種方法進行了分析求解，分別應用了質心運動定理，動量矩定理、功能定理、功率方程、達朗貝爾原理和拉格朗日方程等多種方法，幾乎涵蓋了全部的動力學內容，力求達到動力學內容的融會貫通，希望能夠增強學生對這些定理的理解，能夠正確使用這些定理解決實際問題，從而達到動力學的基本目的.

〔1〕哈爾濱工業大學理論力學教研室.理論力學I、II(第7版)[M].北京：高等教育出版社，2009.