基于勢函數的企業聯盟收益分配策略

孫紅霞,張 強

(1.北京工商大學商學院,北京100048；2.北京理工大學管理與經濟學院,北京100089)

1 引 言

在激烈的市場競爭中,企業往往采取與其他企業結盟的策略來增強自身的競爭優勢,有效規避各類風險,不斷開發新的資源,從而占有更多的市場份額.例如:騰訊公司和京東商城達成戰略聯盟,通過股權投資和深度業務合作共同發展中國實物電商業務；通用汽車與Lyft結成戰略聯盟,共同開發自動駕駛汽車.聯盟的形成遍及經濟領域的各個行業,表現形式也多種多樣,如以合作研發的方式進行技術創新的研發聯盟[1],以特許經營合作廣告進行產品銷售的銷售聯盟[2]等.合作聯盟由于各自的資源優勢和業務能力的不同,可以讓彼此進入新的業務領域,為企業帶來更多的利潤.成功的合作或結盟必須以靈活和公平的機制設計為基礎,以何種方式結盟及結盟后如何分配收益是企業結盟需要解決的問題.在實際問題中,企業結盟問題可以抽象成合作對策模型,結盟后的收益分配問題可以納入到合作對策的理論框架中.以虛擬企業為例,虛擬企業的成員可以看作合作對策中的局中人,總收益相當于合作對策的支付函數,虛擬企業存在準超額利潤等價于合作對策是超可加的,虛擬企業的分配實質上是將合作成員企業共同創造和實現的收益按照一定的規則進行分配和分割的過程,也就是按照一定的原則尋找合作對策解的過程.由于企業合作結盟在實現“單贏”的同時可以實現“共贏”,這種兼顧集體理性與個體理性的思想正好與合作對策的理論基礎相吻合,因此可以利用合作對策的解概念解決企業間的收益分配問題.

在經典的合作對策中,給定一個聯盟意味著每個企業之間都會有直接的聯系,但在現實復雜對策過程中,受多種復雜因素的影響,局中人之間既有合作的需求,同時也存在利益分割等內部矛盾,聯盟的形成會受到諸多條件的限制.譬如,企業參與合作聯盟時,與某些企業先結盟,然后再和其他企業或者聯盟結盟,企業的這種結盟方式可以用聯盟結構表示.聯盟結構指參與對策的全體局中人的一個劃分,其中的元素稱為優先聯盟.具有聯盟結構的合作對策問題是一類較復雜的研究方向.

合作聯盟收益的分配方式稱為合作對策的解或者支付向量,對于經典的合作對策,目前研究較多的解概念是Shapley值[3,4].Owen值是具有聯盟結構的合作對策的解概念之一,它是Shapley值的一種擴展形式,由Owen于1977年提出[5].基于Owen值的分配方式基于兩個階段,首先,利用Shapley值將大聯盟的收益在各優先聯盟之間進行分配,此時將每個優先聯盟看成是單個局中人；其次,每個優先聯盟再次利用Shapley值將第一階段獲得的收益在其內部各局中人之間進行分配.目前對于Owen值的研究主要集中于三個方面,一是根據具體的應用環境,提出新的公理化Owen值的方法[6-11].如:Hamiache[7]提出一種較為復雜的公理化Owen值的方法,涉及到有效性、可加性、不相關參與人獨立性、嚴格正數性、對稱性以及相關一致性.Khmelnitskaya等[8]基于Young的思想,利用邊際貢獻性代替可加性和零元性對Owen值進行刻畫.二是將Owen值進行改進[12-19],以適應新的應用環境.如:對于優先聯盟不交的聯盟結構形式,Albizuri[12]對Owen值進行了改進.對于具有模糊聯盟的聯盟結構形式,Meng等[14]研究了模糊Owen值,并對改值進行了刻畫.對于優先聯盟內部成員合作受限制的聯盟結構形式,van den Brink等[18]提出了Owen型值，并對其進行刻畫.三是Owen值的應用研究[20-23].如:Costa[22]將Owen值用于歐洲鐵路系統重組的成本分攤問題.胡軍鋒[23]將Owen值用于風電接入導致的輔助服務成本分攤問題中.

在經濟學界,新古典經濟學的邊際分析認為,企業只有在邊際成本等于邊際收益處才能獲得最大化利潤,因而每個生產要素必然會根據它的邊際產品獲得報酬,工資也就等于其邊際貢獻,因此,局中人的邊際貢獻在制定合作聯盟收益分配方案時起著很重要的作用.一般來說,局中人的邊際貢獻之和應該等于大聯盟的總收益,即分配方案滿足有效性,但是對于Owen值而言,每位局中人的邊際貢獻不滿足有效性,對于經典的合作對策,Hart等[24]利用勢函數的概念解決了這一問題,證明Shapley值可用勢函數的邊際貢獻來表示,本節主要借鑒Hart等[24]的思想,從邊際貢獻的概念出發,用勢函數對Owen值進行刻畫,為Owen值的計算提供了一種新的方法.首先,給出具有聯盟結構的合作對策的勢函數(文中簡稱為勢函數)的定義及相關性質,其次,研究了該勢函數與Owen值之間的關系,并用算例分析的方法,闡述了勢函數在聯盟企業收益分配方案中的應用.

2 基于勢函數的收益分配方案

合作對策的構成因素包括局中人聯盟和特征函數,用二元組(N,v)表示,其中N={1,2,···,n}局中人集合,N的全部子集所組成的集合記為2N,其中的任一元素都表示一個聯盟.v∶2N→R是定義在N的所有子集上的特征函數,滿足v(?)=0.任意S∈2N,v(S)表示聯盟S在一定協議下經過合作得到的收益.合作對策的全體記為GN.

N的劃分B={B1,B2,···,Bm}稱為關于N的聯盟結構,Bi稱為優先聯盟,M={1,2,···,m}表示優先聯盟的下標集合,該集合中元素的個數是指聯盟結構中的優先聯盟的個數.三元組(N,v,B)稱為具有聯盟結構的合作對策.N上所有具有聯盟結構的合作對策的全體記為CGN.在具有聯盟結構的合作對策中,Owen值的分配方式基于兩個階段,具體的步驟如下:

步驟1利用Shapley值在各優先聯盟之間進行分配.

設(M,vB)是由(N,v,B)誘導出來的對策.優先聯盟Bt所獲得的利潤分配可以看成M上的Shapley 值,即 ShBt(vB)；

步驟2用Shapley值在優先聯盟內部進行分配.

在優先聯盟內的收益分配涉及到確定各個聯盟(各個聯盟指同一優先聯盟內部各局中人構成的聯盟)的收益函數問題.由于各個聯盟具有與外部優先聯盟進行合作的可能性,所以每個聯盟在新對策中的收益取決于這個聯盟與其他優先聯盟的議價能力.因此在這一階段主要是考慮如何分配ShBt(vB).

假設S?Bt,S?=?,令 B(S)={B1,B2,···,Bt-1,S,Bt+1,···,Bm},B(S)上的對策定義為

對任意的S?Bt,Bt上的對策vt定義為vt(S)=ShS(vB(S)),其中ShS(vB(S))表示對于對策vB(S),“局中人”[S]在M上的Shapley值.

任意(N,v,B)∈CGN,局中人i的Owen值定義如下

將式(1)進行整理,可得Owen值的具體形式[1]

在經典合作對策中,局中人的邊際貢獻定義如下[12].

定義1函數P∶GN→R,且P(?,v)=0,第i個局中人在(N,v)∈GN上的邊際貢獻定義為

2.1 勢函數概念及分配方案

給定一個對策(N,v,B)∈CGN和一個聯盟S?N,(S,v,B|S)稱為子對策,它是通過把v局限于S的所有子集即2S上而得到的.

給定函數P{Bt}∶CGN→R,對于每個合作對策(N,v,B),都可以用一個實數P{Bt}(N,v,B)與其對應.在具有聯盟結構的合作對策中,每個局中人的邊際貢獻與其所在的優先聯盟有關,因此將該局中人的邊際貢獻定義如下.

定義 2任意t∈M,函數P{Bt}∶CGN→R,且P{Bt}(N,v,B)=0,Bt內的局中人i在對策(N,v,B)∈CGN上的邊際貢獻定義為

其中(N{i},v,B|{i})是(N,v,B)局限于N{i}上的子對策.

定義3任意(N,v,B)∈CGN,(M,vB)∈GM,t∈M.如果函數P{Bt}∶CGN→R滿足

則稱P為CGN上關于優先聯盟Bt的勢函數,其中[Bt]表示將Bt∈B看成單個局中人,D[Bt]P(M,vB)表示局中人[Bt]在對策(M,vB)上的邊際貢獻.

式(2)說明每個優先聯盟內部的局中人的邊際貢獻之和等于該優先聯盟在對策(M,vB)∈GN中的邊際貢獻.又因為D[Bt]P(M,vB)=Sh[Bt](vB),所以每個優先聯盟內的局中人的邊際貢獻之和等于該優先聯盟在第一步分配中所獲得的收益.

由性質1可知,勢函數就是指每個企業的邊際貢獻分配之和等于合作大聯盟N的收益值,這一性質稱為有效性,即{DiP{Bt}(N,v,B)}i∈N是對策(N,v,B)∈CGN的一個有效支付方案,即{DiP{Bt}(N,v,B)}i∈N是合作聯盟的收益分配方案.

性質2任意(N,v,B)∈CGN,t∈M,關于優先聯盟Bt的勢函數可以表示為

證明如果P{Bt}是關于優先聯盟Bt的勢函數,那么當|Bt|=1時,有

當|Bt|=2時,有

一般而言,當|Bt|≥3時,按照上述方法循環下去即可得

式(3)說明對策關于優先聯盟的勢函數可以由其子對策的勢函數唯一確定.根據前面的分析,利用勢函數進行收益分配的步驟如下:

步驟1計算各個子對策關于優先聯盟的勢函數；

步驟2計算大聯盟關于優先聯盟的勢函數；

步驟3計算勢函數的邊際貢獻,即可得到收益分配方案.

2.2 勢函數與Owen值的關系

Owen值是具有聯盟結構的合作對策的主要解概念之一,下面將給出Owen值與勢函數之間的關系,用勢函數對Owen值進行刻畫.

定理1任意(N,v,B)∈CGN,存在唯一的關于優先聯盟Bt的勢函數P{Bt}∶CGN→R+,且對于Owen值Ow有

證明由式(3)可知存在唯一的關于優先聯盟Bt的勢函數.下面證明DiP{Bt}(N,v,B)=Owi(N,v,B).

則Q(?,v,B)=0.

根據邊際貢獻和Owen值的定義

引理1任意(N,v,B)∈CGN,(Bt,vt)∈GN,有DiP{Bt}(N,v,B)=DiP(Bt,vt).

證明1由定理1的證明過程可知,一個對策的勢函數也可根據聯盟的收益值來表示.同時,定理1給出了對策的勢函數與Owen值的對應關系,由式(4)可知,勢函數的邊際貢獻與Owen值相等,因此具有聯盟結構的合作對策的收益分配問題可以通過勢函數的邊際貢獻解決,它也為計算Owen值提供了另一種方法.由定理1及式(1)可知

3 企業聯盟收益分配策略算例

設供應鏈系統中有企業1,企業2和企業3三家企業(分別記為A1,A2,A3)合作開發一種新型產品,假設A1,A2和A3各自開發時收益分別為100萬元,60萬元和70萬元.如果聯合開發,由于資源互補、開發成本減少,利潤也會有所增大,因此三家企業決定聯合開發新產品,不同聯盟組合下各種產品的產量和單位利潤如表1所示.

表1 產品的產量、單位利潤及聯盟的利潤Table 1 Quantity and unit profit of product,profit of coalition

如果三家企業之間有直接的合作關系,就構成了合作對策(N,v),其中N={A1,A2,A3},v({A1})=100,v({A2})=60,v({A3})=70,v({A1,A2})=v({A1,A3,A2})=200,v({A2,A3})=300,v({A1,A2,A3})=600.

企業2為了提高自身的核心競爭力,充分發揮自身核心競爭力和增強企業對環境的迅速應變能力,以生產外包方式把一些非核心業務委托給企業3,然后再和企業1合作組裝新產品.此時三家企業的合作模式發生了變化,如圖1所示.在新的合作模式下如何分配大聯盟所得的收益呢？

圖1 合作模式的變化Fig.1 Changes of the cooperation mode

在新的合作模式下,三家企業的合作可以用具有聯盟結構的合作對策表示.為方便起見,企業1所在的優先聯盟用a={A1}表示,企業2和企業3優先組成聯盟用b={A2,A3}表示,則M={a,b},下面將利用勢函數求解收益分配策略.

由于任意t∈M,P{Bt}(?,v,B)=0,根據式(3)可得

同理可以得到

由定理1可知,企業1的收益為

同理可得企業2和企業3的收益分別為Ow2(N,v,B)=197.5和Ow3(N,v,B)=202.5.

綜上所述,可以得到三家企業的收益分配策略:當預期的利潤為600萬元時,三家企業得到的報酬分別是200萬元,197.5萬元和202.5萬元.

4 結束語

本文針對部分企業優先合作,然后與其它企業或者聯盟再合作的結盟形式,從勢函數的角度研究了具有聯盟結構的合作對策的收益分配策略.Owen值也是一種收益分配策略,但是根據Owen值進行收益分配或成本分攤時,局中人的邊際貢獻不滿足有效性,而勢函數正好解決了此問題,從新的角度對Owen值進行了刻畫,為計算Owen值提供了新的方法.本文只是從勢函數角度對Owen值做了詮釋,利用其他的方法刻畫Owen值或者從新的角度研究收益分配方案是今后研究的重點.