基于三角函數組合的洛倫茲曲線模型

周遞芝

（貴州民族大學 教務處，貴陽550025）

引言

作為刻畫社會收入分配的有效工具，洛倫茲曲線模型已得到廣泛而深入的研究。一般情況下，可通過兩種途徑獲取收入分配數據的洛倫茲曲線，一種是通過已知數據擬合收入分配的概率密度函數，再導出洛倫茲曲線；另一種是由收入分配數據直接構造洛倫茲曲線。由于收入分配的統計分布不易確定，導致很難擬合出合適的概率密度函數。因此，數理經濟理論界學者更傾向使用第二種途徑，即直接構造洛倫茲曲線。

設收入分配的概率密度函數為（fx），對應的概率分布函數為F（x），則p=F（x）表示收入低于或等于x的人口比例。記收入低于或等x于的人口群體擁有收入占總收入的比例為L（p），則；記F（x）的反函數為F-（1p），μ為平均收入，則也被稱為收入分配的洛倫茲曲線。實際應用中，可通過入戶調查獲得家庭收入與消費等數據其中pi與Li分別為低收入群體的累計比例和該群體的總收入比例。利用最小二乘擬合的方法，先確定L（p，τ）參數向量 τ的估計值，再用作為洛倫茲曲線對收入分配進行近似分析。L（p，τ）是定義在[0，1]區間上滿足L（0，τ）=0，L（1，τ）=1，L（'p，τ）≥0，L"（p，τ）≥0，（0.1）的函數，即在[0，1]上是一個凸的增函數。

一直以來，人們的普遍關注洛倫茲曲線模型.文獻[1]列出了大量的洛倫茲曲線模型[1]，并進行比較.文獻[2]構造了形如 G（p）=pαL（p）n的洛倫茲曲線模型[2]。隨后，Ogwang等人在文獻[3]通過凸組合和加權積的方式構造一系列洛倫茲曲線模型[3]。此后，眾多學者以冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等為基礎通過加權、組合、扭曲等方式構造了一些洛倫茲曲線模型[4-11]。

一、洛倫茲曲線模型的構建

文獻[10]和[11]對文獻[4]中形如 G（p）=pαL（p）n的幾個具體模型進行數值實驗后發現，當參數α?的估計值α?∈（0，1）時，pα相應模型的擬合效果較好。顯然，當時是一個凹函數。據此，通過恰當的冪函數與對數函數形式的凹函數替換pα，它們構造了一類具有良好擬合效果的凹凸組合的洛倫茲曲線模型。受此啟發，下面通過三角函數形式的凹函數替換pα，構造一個基于三角函數與冪函數的凹凸組合的洛倫茲曲線模型。

證明：要證 J（p）為洛倫茲曲線模型，只需驗證 J（p）滿足（0.1）式。直接計算可得J（0）=0，J（1）=1。由知，當時，J'（p）≥0。因為所以，當 0≤p≤1 時

二、模型檢驗

為了檢驗定理1中模型的合理性，下面選取文獻[12]所采用的美國100個分位點的詳細收入分配分組數據進行模型檢驗[12]，分別定義均方誤差、平均絕對誤差、最大絕對誤差和基尼系數G為：

借助Lingo9.0，可以得到1977年美國收入分配分組數據的擬合檢驗情況（見表1）。式的凹函數構造凹凸組合形式的洛倫茲曲線模型，亦具有較好的擬合精度。這不僅進一步說明凹凸組合形式的洛倫茲曲

表1 1977年美國收入分組數據均方誤差檢驗結果

檢驗結果表明，該模型的擬合精度較高，對細致數據具有很好的適應性。

結語

繼文獻[10]與[11]分別用冪函數和對數函數形式的凹函數來構造凹凸組合形式的洛倫茲曲線模型后，用三角函數形線模型擬合精度高、適應強，而且豐富并完善了已有的洛倫茲曲線模型理論及其應用。

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