半無限彈性空間中移動荷載動力響應的頻域—波數域比例邊界有限元法分析

雷曉燕　徐斌　徐滿清

摘要：基于Fourier積分變換和虛功原理，形成了頻域-波數域比例邊界有限元法，分析了移動荷載作用下半空間域彈性空間動力響應。首先對半無限域彈性體的動力控制方程進行時間到頻域，荷載移動方向的空間域到波數的Fourier積分變換，然后選擇比例中心，利用虛功原理，在地鐵隧道孔洞橫截面環向上采用有限元法意義離散，建立了頻域一波數域比例邊界有限元方程，進而形成了一階微分矩陣方程形式的半無限空間動力剛度。文中理論推導表明：利用文中方法分析半無限域中沿地鐵隧道結構縱軸向的移動荷載動力響應問題，不僅可避免無窮邊界計算處理誤差，而且可極大減小計算分析量。計算結果表明：半無限彈性地基的振動響應隨移動荷載速度增大而增大，尤其是當荷載速度增大到土體剪切波速后，振動波傳播到土體表面引起土體振動顯著增大，土體振動性增大，將會對土體及表面結構的安全性形成一定影響，另一方面土體的振動在沿地鐵隧道縱軸向的衰減比豎向慢。

關鍵詞：土動力學；半無限彈性空間；虛功原理；移動荷載；頻域一波數域比例邊界有限元法

引言

對于半無限地基土體動力響應，采用有限元法，不可避免需建立有效的人工邊界與合理離散網格。盡管目前國內外學者已建立了具有各自優點的人工邊界模型動力有限元法，分析無限域地基土體動力問題，但仍不具有有限元意義上的精確性，即低階邊界精度不足、高階邊界穩定性差，離散網格無限小時數值解難以后收斂到精確解。采用三維空間域的時域動力有限元模型分析移動荷載作用下半無限域動力響應，為保證計算精度，尤其是移動荷載速度接近彈性體剪切波速時，要求地基離散范圍必須足夠大，單元尺寸足夠小，必然造成計算模型自由度增大，導致占用計算機資源較大、計算時間長，甚至其計算難以實現。為解決結構-地基動力相互作用問題中無限域動力剛度計算，wolf&song對彈性動力學基本方程采用坐標變換和加權余量法，基于相似性和有限元法的算法，首次提出了比例邊界有限元方法。Deeks&Wolf應用虛功原理重新推導了彈性靜力學問題的比例邊界有限元方程。目前比例邊界有限元法已應用于時域、頻域中無限域波動問題分析、無限地基的邊界動力剛度矩陣等的求解，如：Deeks&Wolf應用比例邊界有限元方法，求解了二維無限域的彈性靜力學問題。Song&wolf分析了各向異性材料的斷裂問題。林皋和杜建國分析了壩面動水壓力問題。Zhang和wegner等利用比例邊界有限元方法求解出時域下無限地基的加速度單位脈沖響應函數，分析了三維結構-地基動力相互作用。利用有限元來模擬結構和近場地基，比例邊界有限元模擬結構兩側的無限地基，邊界元模擬結構底部無限地基，Genes&KOeak形成了FE-BE-SBFEM耦合法，分析了結構-層狀地基動力相互作用問題。

考慮到半空間域中的移動荷載運動方向與無限域中結構的縱軸向一致性，對荷載移動方向采用空間域-波數的Fourier積分變換，可使3D空間轉化為2D平面問題計算，極大地減小計算工作量。同時利用比例邊界有限元法在環向上采用有限元法意義的離散，半無限徑向進行準確的解析求解，避免無限邊界計算誤差，形成頻域一波數域比例邊界有限元法，得到半無限域土體的精確動力剛度，分析時間-空間域半無限域土體動力響應，目前尚未有文獻報道。基于此，本文擬利用荷載移動方向的空間到波數域的Fourier積分變換，結合虛功原理，建立頻域-波數域內的比例邊界有限元方程，分析時間-空間域移動荷載作用下半空間的動力響應。