理想變壓器中的相位問題研究
——一道全國卷高考題引發的問題討論

張紅明 周宗波

(北京師范大學附中 北京 100052) (武漢武鋼三中 湖北 武漢 420100)

1 問題引入

變壓器問題的考查連續出現在全國高考課標卷理綜試題中，2014，2015，2016年均有考查．通過理想變壓器的副線圈串接二極管，通過理想變壓器的原線圈串接電阻等，來考查學生的靈活應變能力、創新能力和探究能力．下面給出2015年全國課標Ⅰ卷理綜物理試題.

【例1】(2015高考全國課標Ⅰ卷第16題)一理想變壓器的原、副線圈的匝數比為3∶1，在原、副線圈的回路中分別接有阻值相同的電阻，原線圈一側接在電壓為220 V的正弦交流電源上，如圖1所示．設副線圈回路中電阻兩端的電壓為U，原、副線圈回路中電阻消耗的功率的比值為k，則

圖1 題圖

下面對該題展開分析.

圖2 例1分析

2015年這道高考題在中學物理教師中引起了廣泛的熱議，兩種觀點激烈碰撞,更為令人困惑的是在接下來的2016年高考全國卷中又出現了類似的變壓器問題．這到底是怎么回事？

2 問題研究

一種直覺，認為這道題有科學性錯誤的觀點是有問題的．該題的原線圈中串聯了電阻R，表面看起來是理想變壓器的一種變式，其實它應該是一種典型的物理問題．請看遠距離輸電，其示意圖如圖3所示.

圖3 遠距離輸電示意圖

在遠距離輸電問題中，如果去掉升壓變壓器，直接把升壓變壓器的輸出電壓看作是電源，那么遠距離輸電問題就變成上述的高考題，它們在本質上完全一樣．對于遠距離輸電，我們經常用到電壓關系U2=U線+U3，對這個關系我們覺得天經地義，絲毫沒有人懷疑它的正確性，根本沒有人提出電阻兩端電壓與線圈兩端電壓存在相位差問題．

在上述高考題中，電阻兩端電壓加上線圈兩端電壓就是電路輸入的總電壓，其正確性應該是顯然的．這個正確性是建立在線圈兩端電壓與電阻兩端電壓是同相位的，下面對其正確性進行深入地研究．

理想變壓器是以互感現象為基礎的電磁裝置，它的原理性結構如圖4所示.

圖4 理想變壓器原理性結構

理想變壓器是繞在同一個鐵心上的兩個線圈．在交流電源的作用下，原線圈內產生交變電流，從而在鐵心內激發交變的磁通量．交變的磁通量又在副線圈內產生感應電動勢和感應電流，它反過來通過互感磁通又影響到原線圈．這便是變壓器工作時的基本過程．理想變壓器應該滿足以下幾個條件：

(1)沒有漏磁，即通過兩個線圈中每匝的磁通量都一樣；

(2)兩線圈中沒有電阻，從而沒有銅損(即忽略線圈導線中的焦耳損耗)；

(3)鐵心中沒有鐵損(即忽略鐵心中的磁滯損耗和渦流損耗)；

(4)原、副線圈中的感抗趨于無窮大，從而空載電流趨于零．

2.1 理想變壓器的電壓變比公式

首先，為了確定正負號，先得規定原、副線圈的回繞方向．兩線圈回繞方向的選擇如圖4中箭頭所示，應該注意到這樣的選擇使得它們在磁芯內產生的磁通量的方向是一致的，即都沿順時針方向．

設原、副線圈的匝數分別為N1，N2，通過磁芯任意橫截面得到磁通量為φ，則通過原、副線圈的磁通匝鏈數分別為ψ1，ψ2，則

ψ1=N1φ=L1I1+M21I2

(1)

ψ2=N2φ=L2I2+M12I1

(2)

式中L1,L2,M21,M12分別為原副線圈的自感系數和互感系數，I1,I2分別為原副線圈中的電流．

根據法拉第電磁感應定律，兩線圈中產生的感應電動勢分別為

-jωN1φ=-jωL1I1-jωM21I2

(3)

-jωN2φ=-jωL2I2-jωM12I1

(4)

設變壓器的原副線圈的電壓分別為u1,u2，則有

u1=uAB=-εAB=jωN1φ=

jωL1I1+jωM21I2

(5)

u2=uCD=εDC=-jωN2φ=

-jωL2I2-jωM12I1

(6)

以上兩式相除得

(7)

這便是理想變壓器的電壓變比公式，式中的符號表示u1的相位與u2相差π．

2.2 理想變壓器的電流變比公式

副線圈空載時，令式(1)中的I2=0，I1=I0，立即得到空載電流(也稱勵磁電流)為

(8)

再看有負載電流的情形，在式(1)中用jωL1I0代表左邊的u1，移項后得

jωL1(I1-I0)=-jωM21I2

(9)

(10)

此式即為理想變壓器的電流變比公式，式中的符號表示I1的相位與I2相差π．

3 問題分析

在上述題目中，由于副線圈連接的是純電阻元件，因此副線圈中電壓u2與電流I2是同相位的．又由于原線圈中的u1的相位與副線圈u2相差π，原線圈中電流I1的相位與副線圈中電流I2相差π，所以原線圈的電壓u1與電流I1是同相位的．進一步知道，原線圈中串聯的電阻兩端電壓與線圈兩端電壓是同相位的，所以它們的有效值可以直接相加等于電路的輸入電壓．至此，上述問題就全面解決．

3 啟示與反思

在中學物理遠距離輸電的教學中，有時教給學生的是一些結論性的知識，如高壓輸電電壓等于輸電線上的損耗電壓加降壓變壓器的輸入電壓，這其中的深層次的原因不必要求學生知道，但對教師來說應做到心中有數．

1 人民教育出版社課程教材研究所.普通高中課程標準實驗教科書物理·選修3-1.北京：人民教育出版社，2014

2 梁燦彬，秦光戎，梁竹健.普通物理教程·電磁學(第三版).北京：高等教育出版社，2012

3 趙凱華，陳煕謀.電磁學(下冊).北京：高等教育出版社，1985