逐差法處理測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻數(shù)據(jù)的研究

何述平

(西北師范大學(xué)教育學(xué)院物理教育研究所 甘肅 蘭州 730070)

1 引言

測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《物理·選修3-1》的基本內(nèi)容[1，2]，原理方法有伏安法、伏阻法、安阻法[1～5]，數(shù)據(jù)處理方法有方程法和圖像法[1～4]．然而，可否運(yùn)用逐差法？有怎樣的特點(diǎn)？就此進(jìn)行相應(yīng)研究，以期推證線性函數(shù)逐差法，并運(yùn)用于測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的數(shù)據(jù)處理，拓展現(xiàn)行教科書中的相關(guān)方法，并為教學(xué)設(shè)計(jì)奠定層次性、開放性的物理基礎(chǔ)．

2 線性函數(shù)逐差法的推證

逐差法是物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的基本方法，也是解決擬合(回歸)直線時(shí)方程數(shù)多于變量數(shù)的方法[6]；據(jù)此簡(jiǎn)明推證線性函數(shù)逐差法．設(shè)直接測(cè)量物理量x，y呈線性關(guān)系

y=a0+a1x

(1)

式中a0和a1為間接測(cè)量量(恒量)．測(cè)2n組數(shù)據(jù)(xi,yi)，i=1,2,…,2n，n≥1，按測(cè)量數(shù)據(jù)大小依次代入式(1)，得2n個(gè)線性方程．依據(jù)逐差法處理數(shù)據(jù)的基本思想(差分-平均)[6]，式(1)的2n個(gè)線性方程隔n項(xiàng)逐差，得

yn+i-yi=a1(xn+i-xi)

(2)

式(2)求和，得

(3)

式(1)的2n個(gè)線性方程求和，得

(4)

式(3)代入式(4)，化簡(jiǎn)得

(5)

簡(jiǎn)化式(5)、(3)，有

(6)

(7)

3 逐差法處理測(cè)電源(E,r)數(shù)據(jù)

3.1 伏安-逐差法

伏安法測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻有電流表內(nèi)、外接(相對(duì)電源)兩種方式，分別如圖1和圖2所示．不考慮電表影響，由閉合電路歐姆定律均有

U=E-Ir

(8)

式(8)表明：U與I呈線性關(guān)系(E，r為恒量)．于是，測(cè)偶數(shù)組數(shù)據(jù)(Ii,Ui)，由式(8)及式(5)、(3)處理數(shù)據(jù)得E測(cè)，r測(cè)．

3.1.1 伏安內(nèi)接式

如圖1所示為伏安內(nèi)接式電路，考慮電流表分壓的影響，由閉合電路歐姆定律有

U=E-I(r+RA)

(9)

比較式(9)、(8)并修正已定系統(tǒng)誤差，有

E內(nèi)修=E內(nèi)測(cè)r內(nèi)修=r內(nèi)測(cè)-RA

(10)

式(10)表明：伏安內(nèi)接式測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻中，僅電流表內(nèi)阻RA對(duì)測(cè)電源內(nèi)阻r帶來(lái)影響(RA→0時(shí)，影響為零)．

圖1 伏安內(nèi)接式電路

3.1.2 伏安外接式

如圖2所示為伏安外接式電路，考慮電壓表分流的影響，由閉合電路歐姆定律有

(11)

式(11)變形，得

(12)

圖2 伏安外接式電路

比較式(12)、(8)并修正已定系統(tǒng)誤差，有

(13)

式(13)表明：伏安外接式測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻中，僅電壓表內(nèi)阻RV對(duì)測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)E和內(nèi)阻r帶來(lái)影響(RV→∞時(shí)，影響為零)．

3.2 伏阻-逐差法

伏阻法測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的電路如圖3所示．

圖3 伏阻法電路

不考慮電表影響，由閉合電路歐姆定律有

(14)

式(14)線性化，得

(15)

考慮電壓表分流的影響，由閉合電路歐姆定律有

(16)

式(16)線性化有

(17)

比較式(17)、(15)并修正已定系統(tǒng)誤差，有

(18)

式(18)表明：伏阻法測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻中，電壓表內(nèi)阻RV對(duì)測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)E和內(nèi)阻r帶來(lái)影響(RV→∞時(shí)，影響為零)．

3.3 安阻-逐差法

安阻法測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的電路如圖4所示．

圖4

不考慮電表影響，由閉合電路歐姆定律有

E=I(r+R)

(19)

式(19)線性化，得

(20)

考慮電流表分壓的影響，由閉合電路歐姆定律有

E=I(r+R+RA)

(21)

式(21)線性化有

(22)

比較式(22)、(20)并修正已定系統(tǒng)誤差，有

E安修=E安測(cè)r安修=r安測(cè)-RA

(23)

式(23)表明：安阻法測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻中，電流表內(nèi)阻RA對(duì)測(cè)電源內(nèi)阻r帶來(lái)影響(RA→0時(shí)，影響為零)．

4 逐差法的運(yùn)用結(jié)果

取測(cè)同一節(jié)1號(hào)干電池電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的數(shù)據(jù)(所用儀器：簡(jiǎn)式電阻箱J2362型；直流安培計(jì)J0407型，0.6 A擋，RA=0.124 Ω；直流伏特計(jì)J0408型，3 V擋，RV=3 kΩ)[5]，如表1所示.依次運(yùn)用上述推證的線性函數(shù)逐差法處理測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻數(shù)據(jù)的結(jié)果如下．

表1 測(cè)量數(shù)據(jù)

4.1 伏安-逐差法的結(jié)果

4.1.1 伏安內(nèi)接式

(1)測(cè)量結(jié)果

由式(8)及式(5)、(3)、表1中(Ii,Ui)數(shù)據(jù)得

E內(nèi)測(cè)=1.53 Vr內(nèi)測(cè)=0.54 Ω

(2)修正結(jié)果

由式(10)、RA數(shù)據(jù)和表1測(cè)量結(jié)果得

E內(nèi)修=1.53 Vr內(nèi)修=0.42 Ω

4.1.2 伏安外接式

(1)測(cè)量結(jié)果

由式(8)及式(5)、(3)、表1中(Ii,Ui)數(shù)據(jù)得

E外測(cè)=1.53 Vr外測(cè)=0.36 Ω

(2)修正結(jié)果

由式(13)、RV數(shù)據(jù)和上述測(cè)量結(jié)果得

E外修=1.53 Vr外修=0.36 Ω

4.2 伏阻-逐差法的結(jié)果

(1)測(cè)量結(jié)果

由式(15)及式(5)、(3)、表1中(Ri,Ui)數(shù)據(jù)得

進(jìn)而有E伏測(cè)=1.53 Vr伏測(cè)=0.38 Ω

(2)修正結(jié)果

由式(18)、RV數(shù)據(jù)和上述測(cè)量結(jié)果得

E伏修=1.53 Vr伏修=0.38 Ω

4.3 安阻-逐差法的結(jié)果

(1)測(cè)量結(jié)果

由式(20)及式(5)、(3)、表1中(Ri,Ii)數(shù)據(jù)得

進(jìn)而有E安測(cè)=1.63 Vr安測(cè)=0.88 Ω

(2)修正結(jié)果

由式(23)、RA數(shù)據(jù)和上述測(cè)量結(jié)果得

E安修=1.63 Vr安修=0.76 Ω

上述4種處理測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻數(shù)據(jù)的逐差法結(jié)果與相應(yīng)運(yùn)用最小二乘法結(jié)果[7]非常接近，因此，逐差法結(jié)果具有合理性．

5 逐差法的討論

5.1 緣何宜按數(shù)據(jù)大小排序

依據(jù)誤差的方合根合成，對(duì)式(7)有

(24)

5.2 特點(diǎn)比較

比較上述4種逐差法知，從線性函數(shù)逐差法處理數(shù)據(jù)的單一角度看，簡(jiǎn)捷程度(由簡(jiǎn)到繁)依次為：伏安內(nèi)接式-逐差法、伏安外接式-逐差法、安阻-逐差法、伏阻-逐差法；但從原理方法的準(zhǔn)確程度(即電表內(nèi)阻的影響，已定系統(tǒng)誤差)、逐差法的簡(jiǎn)捷程度的綜合角度看，測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的合理、可行的方法順序?yàn)椋悍餐饨邮?逐差法、伏阻-逐差法、伏安內(nèi)接式-逐差法、安阻-逐差法．因此，更宜采用伏安外接式-逐差法．這就為測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的教學(xué)設(shè)計(jì)奠定了層次性、開放性的物理基礎(chǔ)．

6 教學(xué)建議

6.1 誤差分析建議

6.2 數(shù)據(jù)處理方法建議

梳理測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理方法，有圖像法[7]、平均法(現(xiàn)行教科書中稱為“方程法”[1～4]，實(shí)質(zhì)為平均法[8])、逐差法；而圖像法可依據(jù)作圖工具分為作圖圖像法和回歸圖像法．準(zhǔn)確程度為：回歸圖像法(實(shí)質(zhì)為最小二乘法)最好，平均法、逐差法其次，且相當(dāng)，作圖圖像法最次．因此，就測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理教學(xué)而言，可依據(jù)學(xué)生發(fā)展需求嘗試運(yùn)用不同方法，這既可延續(xù)“一題多解”的理念，進(jìn)一步發(fā)展物理發(fā)散思維；又可更好地理解物理方法的價(jià)值，培養(yǎng)與提升物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理能力．

7 結(jié)語(yǔ)

不僅簡(jiǎn)明推證了線性函數(shù)逐差法，給出了處理測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻數(shù)據(jù)的逐差法；而且結(jié)合測(cè)量數(shù)據(jù)提供了運(yùn)用逐差法的合理測(cè)量結(jié)果、修正結(jié)果．討論了逐差法的特點(diǎn)，提出了處理測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻的合理方法順序，給出了誤差分析、數(shù)據(jù)處理方法的教學(xué)建議；拓展了現(xiàn)行普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書中測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理方法．

線性函數(shù)逐差法可作為高中物理學(xué)方法論教育的顯性化內(nèi)容，應(yīng)是高中物理教師清晰并能靈活運(yùn)用的物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的基本方法．

1 人民教育出版社課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·物理選修3-1(第3版)．北京：人民教育出版社，2010．70～71

2 束炳如， 何潤(rùn)偉． 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·物理選修 3-1(第2版)． 上海： 上海科技教育出版社， 2007． 82～85

3 陶洪．物理實(shí)驗(yàn)論．南寧：廣西教育出版社，1996．174～177

4 王興乃，羅棟國(guó)．高中物理實(shí)驗(yàn)大全(第2冊(cè))．北京：電子工業(yè)出版社，1989．279～290

5 安忠，劉炳昇．中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究．北京：高等教育出版社，1986．237～238

6 龔鎮(zhèn)雄．普通物理實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)處理．西安：西北電訊工程學(xué)院出版社，1985．119～123

7 何述平．圖像法處理測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻數(shù)據(jù)的研究．物理教師，2013，34(8)：58～60

8 何述平．平均法處理測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻數(shù)據(jù)的研究．物理實(shí)驗(yàn)，2013，33(6)：16～19