固體均勻弦振動中數據處理與誤差分析

張 春 楊寧選

(石河子大學理學院物理系 新疆 石河子 832000)

固體均勻弦振動實驗是大學普通物理力學中的一個基礎、傳統教學實驗，它驗證了弦線上橫波的傳播規律，觀察固定均勻弦振動傳播時形成的駐波波形，測量均勻弦線上橫波的傳播速度及均勻弦線的線密度[1～11]．通常采用實驗方法有兩種：一是采用振動頻率固定的電動音叉，通過改變弦線長度或張力，形成穩定駐波，研究橫波的疊加現象，驗證橫波的波長與張力、線密度的關系；二是采用頻率連續可調的振動體，改變弦長或張力，形成穩定駐波從而驗證弦線上駐波的振動規律[5]．方法一實驗操作簡便，實驗現象非常明顯，但該方法在測量波長時，受實驗條件的影響，測量弦長的數據不是很精確[5]，為此本文將探討在數據處理中可以應用最小二乘法，研究弦線上橫波的波長與張力的關系，并利用Origin軟件進行線性擬合，對波速和頻率及其誤差進行計算，為實驗操作者和實驗教學者提供參考．

1 實驗裝置及理論分析

弦振動實驗儀[1]如圖1所示，將弦線一端固定于電振音叉的一個腳上，另一端繞過定滑輪后掛一砝碼，弦線張力T的大小即是砝碼的重力．閉合開關S后，調節音叉斷續器的接觸點螺絲S′，令音叉維持振幅恒定的簡諧振動，可迫使弦線產生橫波向外傳播，并在端點D發生反射．由于前進波與反射波的振幅相同，頻率相同，振動方向相同且傳播方向相反，則當C與D兩端間弦線的長度滿足一定的條件時，前進波與反射波在弦線上可產生干涉．

圖1 弦振動實驗裝置圖

(1)

(2)

弦振動實驗一端為振源，另一端固定，屬于有界弦的強迫振動，初始時刻，式(1)滿足的初始條件為

(3)

如果振源以正弦函數方式振動，式(1)滿足的邊界條件為

u|x=0=0u|x=l=sin(2πνt)

(4)

式中l為弦長，ν為振源的振動頻率．因為弦的振動在時間上是簡諧的，所以對方程(1)分離變量后，求出的通解為

u(x,t)=(AeiΛx+Be-iΛx)ei2πνt

(5)

式中A與B是兩個積分常數，等號右側第一項表示自波源向固定端傳播的入射波，第二項則是由固定端反射回來向波源傳播的反射波，Λ是分離時所引入的常數．

2 實驗原理

駐波是波的干涉現象的特例，產生駐波的條件為：振幅相同且在同一直線上沿相反方向傳播的兩列相干波．設前進波沿x軸正方向傳播，則反射波沿x軸負方向傳播，取它們振動相位始終相同的點為坐標原點，且在x=0處振動質點向上達到最大位移時開始計時，則前進波的波動表達式為

反射波的表達式為

其中，A為簡諧波的振幅，ω為圓頻率，f為頻率，λ為波長，x為弦線上質點的坐標位置．兩列波疊加后形成駐波，其表達式為

(6)

式(6)表示駐波上各點都在做簡諧振動，各點振動的頻率相同，即是波的頻率，但是各點的振幅隨質點坐標位置的不同而不同，即各點的振幅為

(7)

其中，振幅為零的點稱為波節，振幅最大的點稱為波腹．駐波不是振動狀態的傳播，也沒有能量的傳播，而是介質中各質點都做穩定的簡諧振動．

可得波節的位置為

同理，可得波腹的位置為

則相鄰兩波節(或波腹)的距離為

(8)

因此，在實驗中，當C與D兩端間弦線的長度等于半波長的整數倍時，可觀察到駐波現象，此時只要測得相鄰兩波節或相鄰兩波腹的距離，就可以確定波長

(9)

其中，n稱為半波數．由波動理論可證，沿著一條拉緊的弦線傳播橫波時，波的傳播速度v滿足

(10)

其中，T為弦線的張力，ρ為弦線的線密度 (即單位長度的質量)．

These last definitions allow an immediate calculation of the above parameters after finding the memristance curve(Fig. 1-Bottom), since R0, Ron and Roff are found from direct inspection. By substituting the definitions of NMR and NRS,Eq. (9) is transformed to:

若弦線的波動頻率為f，弦線上傳播的橫波波長為λ，則根據v=fλ及式(10)得

(11)

對式(11)兩邊取對數，得

(12)

式(12)為弦振動的傳播規律．

3 實驗內容及數據記錄

(1)首先用分析天平稱出不同長度弦線的質量，然后用米尺測出其長度，記錄在表1中．

表1 弦線的線密度

(2)取砝碼質量依次為20 g,40 g,60 g,80 g,100 g,120 g,140 g,160 g,調節弦線的長度，使弦線上出現穩定的駐波，記錄半波數的個數和用米尺測量出弦線的長度(測量5次)，記錄在表2中，在本實驗中取力學實驗室位置重力加速度的理論值[2]為g理論=9.808 m/s2．

4 數據處理及結果分析

(1)對于弦線的線密度，多次測量求平均值

其中

分析天平 Δ儀=0.000 1×10-3kg

米尺 Δ儀=0.000 1 m

總不確定度為

因此

表2 懸掛不同質量砝碼時弦線的長度和半波數

表3 lnλ～lnT的關系

(2)對于式(11)，兩邊取對數，有

設

y=lnλx=lnT

則y=ax+b；可以驗證lnλ～lnT的線性關系．代入相應的測量數據后，用最小二乘法計算a,b的值及相關系數R和靈敏度的值k．由于

得

根據最小二乘法處理數據的方法，有

(13)

(14)

可以計算出a=0.497 6,b=-0.685 3；關聯系數R=0.970 2，靈敏度的值k=0.497 6．從結果上看，關聯系數接近于1，說明lnλ，lnT具有較好的線性關系．

用OriginPro7.5軟件可以進行線性擬合，擬合的圖像如圖1所示．從圖1可以看出實際曲線和擬合曲線一致性非常好，lnλ和lnT滿足線性關系．

圖1 lnλ～lnT擬合關系曲線圖

圖2 m～vρ,vf關系曲線圖

表4 兩種波速及誤差的計算

5 小結

本文從波動方程入手，推導出弦振動時產生駐波的方程；得出弦振動形成駐波時，波長、弦中張力、頻率和弦線密度之間的關系．對弦振動的實驗數據采用最小二乘法處理，并用OriginPro7.5軟件對lnλ～lnT進行了線性擬合，分析了相對誤差．此外，本文用分析天平求弦線線密度時，計算了其不確定度，并采用兩種方法計算了弦線上行波的波速，對比了兩種波速的誤差度．

1 張建軍,殷保詳.大學物理實驗.北京：北京郵電大學出版社,2013

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