基于Matlab的鈉雙線波長差實驗模擬

潘尹凡 馮 杰 郭長江

(上海師范大學數理學院 上海 200235 )

利用邁克爾孫干涉儀測量鈉雙線的波長差是大學物理實驗中重要的實驗之一，但由于學生的經驗與操作技巧的不足，有時難以調出清晰的干涉條紋，從而導致對光學產生恐懼，因此有必要利用其他輔助方法讓學生看到條紋的變化情況，結合真實操作完整了解該實驗的具體內容與思想．

1 邁克爾孫干涉儀測量鈉雙線的基本原理

設兩根譜線的波長λA<λB，d為兩塊反射鏡到分光板的距離差，當達到中心位置的兩路光的光程差δ滿足式(1)時，對應了兩個干涉條紋半錯級，即視見度極低的狀態．

(1)

移動某塊反射鏡增大d值，當中心位置再次滿足半錯級條件時，λB“走過”Δk個周期，λA由于恰錯開一級，在Δk個周期的基礎上還多“經歷”一個周期，故有

2(d+Δd)=(k+Δk)λB=

(2)

由式(2)減式(1)得

2Δd=ΔkλB=(Δk+1)λA

(3)

根據式(3)可求得

代回得光程差變化為

(4)

式中Δδ又稱為相干長度，實驗中只要測得多次中心附近視見度極低時刻的距離讀數，通過式(4)便可計算出譜線的波長差．

2 基于Matlab的模擬

Matlab擁有強大的數值計算與模擬能力，在上述原理的指導下，本實驗可轉化為計算機語句進行模擬(補償板用以補償一路的半波損失，在模擬中認為反射損失已彌補)．如圖1(a)中分光板為K，反射鏡為M1與M2，分光板中心距M1為KM1，分光板中心距M2為KM2，分光板中心距觀察屏為KE，如圖1(b)所示．

圖1 邁克爾孫干涉儀光路圖與等效光路圖

Matlab模擬

KM1=100*1e-3;

KM2=100.12*1e-3;

KE=0.3;

L2=KE+2*KM2;

L1=KE+2*KM1;

lam1=588.9963*1e-9;

lam2=(588.9963+0.663)*1e-9;

lam=[lam1;lam2];

ymax=50*1e-3;

y=linspace(-ymax,ymax,256);

x=y;

I=zeros(256,256);

for r=1∶2

for i=1∶256

for j=1∶256

u1=sqrt(y(i)^2+x(j)^2+(L1)^2);

u2=sqrt(y(i)^2+x(j)^2+(L2)^2);

phi=2*pi/lam(r)*(u1-u2);

Iz(i,j)=(1/u1)^2+(1/u2)^2+2/u1/u2*cos(phi);

end

end

I=I+Iz;

end

br=I.*255/max(max(I));

image(x,y,br);colormap(gray(255));axis square;axis off;

模擬中一塊反射鏡位置固定，距分光板中心KM1=100 mm，另一塊反射鏡可調．分光板距觀察屏0.3 m，可知兩路光程為L1=KE+2KM1，L2=KE+2KM2，將鈉雙線波長設為lam1與lam2，觀察屏寬度設為100 mm，采用256×256矩陣計算各點相對光強．

對該光路做等效處理，干涉圖樣可視為距觀察屏L1與L2的兩個光源形成的，因此可求得矩陣(觀察屏)上任意點到兩個等效光源的距離u1與u2，進而求出對應的相位差phi．認為兩光路的光強相等，則任意點的相對光強表達式為

(5)

將兩個波長形成的干涉分布合成后歸一顯示即得最后的模擬效果．修改KM1的數值觀察干涉圖樣的變化情況，當KM1為100.131 2 mm，100.393 3 mm，100.655 2 mm時中心視見度最低，對應著真實實驗中記錄的反射鏡位置，可計算得δ≈0.524 0 mm，通過式(4)得理論值為0.523 8 mm，本模擬可大致還原實驗真實效果，幫助學生課前預習與課后復習．

圖2 干涉圖像隨反射鏡位置變化的情況

3 小結

現代光學應用廣泛，但追其本源都離不開典型光學實驗中的原理，因此實際動手操作對每一個物理學子都是必要經歷的過程．考慮到光學實驗的儀器操作難度與設備保護等因素，讓學生在實驗前運行相應的計算機模擬，一方面能提前了解實驗應有的現象，一方面也能理清實驗的大致步驟與要求，通過計算機模擬與實際實驗相結合的方式，相信可以幫助學生深刻理解光學實驗的設計思想與包含的物理原理．

但筆者最后需要強調并明確一點：計算機模擬是基于理想情況下的結果，在物理學習過程中僅起到知識點的預習和復習作用．物理學科的教學重點仍然在于實驗室的真實實驗，其作用是模擬實驗不能替代的．望物理學子與物理教師們時刻謹記這點．

1 馮杰. 大學物理專題研究.北京：北京大學出版社，2011. 209～214

2 易明. 普通物理學教程. 光學.北京：高等教育出版社，1999.140～167