等溫線和絕熱線不能相交于兩點的兩種證法*

盧曉鳳 毛予廷

(西南大學物理科學與技術學院 重慶 400715)

在熱學部分我們學習了熱力學第零定律、第一定律及第二定律這三大定律之后，發現用其可以解決很多有關熱現象的問題，但它也有其局限性．如單純地用熱力學第一定律不能回答的問題有3個，其中第一個是：理想氣體的pV圖上，等溫線和絕熱線不能有兩個和兩個以上的交點．對上述問題的證明我們采用反證法，得出其違反熱力學第二定律證明的，其實還可以有其他證法，為此本文就這一問題用兩種方法進行證明．

1 證明方法一

命題：論證理想氣體絕熱線與等溫線不能相交于兩點．

假設絕熱線與等溫線相交于A,B兩點．

如圖1所示，若一條絕熱線與一條等溫線相交于A,B兩點，沿絕熱線從A到B,再沿等溫線從B到A,于是構成了一個閉合循環，它從單一熱源吸熱對外做功(等于環路面積)．這違反熱力學第二定律，所以是不可能的．

如圖1所示，等溫線與絕熱線構成一個閉合循環系統，則有ΔU=0(因為內能是個態函數).

圖1 理想氣體p-V圖

由熱力學第一定律得

ΔU=Q-A

B→A在等溫過程中有Q>0

A→B在絕熱過程中有Q=0

則有

Q=A

式中各字母代表的意思分別是:Q:系統從外界吸熱；A：外界對系統做功；U:內能增加.

這與熱力學第二定律開爾文氏表述相矛盾(不可能從單一熱源吸取熱量，使之完全變為有用功而不產生其他影響).

因此，假設不成立原結論正確．

上述證明過程完全應用我們物理知識中的熱力學第一、二定律進行證明，證明過程雖簡單，但不易理解，為此我們介紹下面一種證法．

2 證明方法二

對于“理想氣體絕熱線與等溫線不能相交于兩點”這一命題的證明，不依賴于熱力學第二定律，也可以證明其正確性．

在pV圖中，可設(p1，V1)和(p2，V2)是等溫線和絕熱線的兩個交點，根據理想氣體等溫過程方程

pV=C1

可得

p1V1=p2V2

(1)

根據理想氣體絕熱過程方程

pVγ=C2(泊松公式)

可得

(2)

聯立(1)、(2)兩式可得

其實兩個交點為同一點．

在上述的討論中我們假定γ為常數，而對于理想氣體，γ有可能是溫度的函數，在此情況下有

nCVdT+pdV=0

(3)

利用理想氣體物態方程：pV=nRT,可將式(3)化簡為

VF(T)=常量

因此，當γ與溫度有關時，理想氣體的絕熱過程方程為

VF(T)=常量

(4)

設(p1,V1)和(p2，V2)是等溫線和絕熱線的兩個交點,等溫線對應的溫度為T，由式(4)可得

V1F(T)=V2F(T)

(5)

由等溫過程方程可得

p1V1=p2V2

(6)

聯立(5)、(6)兩式可得

上面兩式同樣說明，等溫線和絕熱線的兩個交點實為一點，這說明等溫線和絕熱線不可能有兩個或兩個以上的交點．

3 兩種證明方法比較

相同點：對理想氣體絕熱線與等溫線不能相交于兩點這一命題的兩種證明方法，本文均采用了反證法，但其應用原理不同．

不同點：

(1)方法一通過應用熱力學第一定律導出其與熱力學第二定律相矛盾從而證明了其正確性；方法二則采用熱力學第一定律的微分形式、理想氣體的物態方程及泊松方程進行證明，更多的是數學推理．

(2)方法一形式簡單，但不易理解，尤其對其兩大定律理解不清晰或不透徹者．方法二雖形式復雜公式繁多實則原理簡單，大多是一些數學方面的定性分析及推理，較易理解．

4 總結

對理想氣體絕熱線與等溫線不能相交于兩點的正確性的論證，我們從上述問題的兩種證明方法進行了證明，均有優缺點，同學們可以自選方法來更好的理解．同時也啟示我們，在解決一些問題時要從多角度去思考，力圖尋求多種方法來解決其問題，從而得到最簡便的解決途徑．這不僅可以提高我們解決問題的能力更能鍛煉我們的思維能力．

1 劉全慧，沈抗存.熱物理教與學隨筆集.北京:科學出版社,2010.89～90

2 趙凱華，羅蔚茵. 熱學. 北京：高等教育出版社， 2011. 222～223

3 程守洙，江之永.普通物理學.北京：高等教育出版社，2013