實心球最佳投擲角精確方程及數值解

葛興爍 李 強

(石家莊石門實驗學校 河北 石家莊 050024)

馬鈺瑩

(天津英華國際學校 天津 301700)

原地雙手后拋實心球被列為河北省體育中考項目，該項目在我省體育中考總分中占10分 (體育中考總分為30分).中學體育教師往往根據多年積累的教學經驗，再結合其他投擲項目及學生特點總結出自己一套獨特的教學方法. 理論計算表明，在不計空氣阻力，投擲角與球出手時的速度及高度有關，要使射程最遠投擲角大約在38°～42°之間. 但是，這些雜志[1, 2]在導出這一結論時忽略了考生手臂長度對投擲成績的影響.

本文在原來物理模型的基礎上進行分析討論，指出關于實心球最佳投擲角計算公式中存在的問題，導出最佳投擲角的精確方程和數值解.旨在完善該項目的理論體系，更科學地指導考生對該項目的訓練，為考生提高成績提供最有效的數據.

1 原地雙手后拋實心球技術分析存在不足

一般在投擲項目原理中，影響投擲成績的因素有出手高度、投擲角度和出手速度3個因素，原地雙手后拋實心球同樣也受到這3個因素的影響. 文獻[3]深入分析了原地雙手后拋實心球的影響因素，并提出了原地雙手后拋實心球成績與3個因素間的關系

(1)

公式(1)為實心球出手后的投擲距離. 但是作者忽略了一個重要因素，即投擲者的手臂長度. 一般在其他投擲類項目里面不考慮手臂長度，但是在該項目中，投擲者站在線的后方并且背對投擲方向投擲，這就決定實心球出手點一定在線后方. 因此，只有在出手高度、出手速度、手臂長度一定時，投擲實心球的投擲距離才只取決于投擲角度.

原地雙手后拋實心球的拋出點要高于落地點，通過觀察原地后拋實心球物理模型示意圖(圖1)，發現手臂水平方向的分量L0cosβ在一定程度上減小了實心球的投擲距離. 那么在投擲過程中，我們應盡量減小水平分量對投擲距離的消極影響，即手臂剛好在頭頂上方伸直，與地面垂直. 如果此時出手實心球，那么實心球將做平拋運動，則會失去最大投擲距離.文獻[2]在研究斜拋物體運動時，給出了斜拋物體最大投擲距離的表達式.其他條件相同時，在一定的角度范圍內，斜上拋運動的投擲距離一定大于平拋運動的投擲距離. 這就是為什么標槍、鉛球等體育運動都是斜上拋運動而不是平拋運動.文獻[4]在研究投射體的投射角和落地角間的關系時，得出了無論何種情況投射角和落地角互余的關系. 即投擲角一定要小于90°.如果投擲點超出頭頂，則此時將做斜下拋運動，投擲距離會更小. 因此，原地雙手后拋實心球它的拋出點應在頭部后方.

2 不計空氣阻力原地雙手后拋實心球最佳投擲角的精確方程

如圖1所示，建立原地后拋實心球物理模型.

圖1 原地后拋實心球物理模型

不計空氣阻力，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做上拋運動，拋出點到球的落地點所用時間為t. 原地雙手后拋實心球的投擲距離s和出手高度H，出手速度v,投擲角度α,手臂長度L0之間的精確方程推導如下

s0+s=v2t=vtcosα

t=t1+t2

由

可得到

聯立上式化簡得到

在實心球出手的瞬間，實心球可以近似看作是一個以投擲者肩部為軸，手臂長度的圓周運動的一部分.由于此過程加速時間較短，因此，可近似認為此過程為勻速運動. 手臂伸展后的高度高于人的身高，不會造成砸到人的情況. 那么在出手的瞬間實心球的速度v和手臂L0垂直，即

α+β=90°

由

s0=L0cosβ

得到

s0=L0cos(90-α

即

s0=L0sinα

顯然，實心球出手瞬間球心在地面投影點至投擲線之間的水平距離為投擲角的函數. 綜上所述，我們可以得到實心球的投擲距離和出手高度、出手速度、投擲角度、手臂長度之間的精確方程

(2)

sinα=μ

則

并令

則方程(2)改寫為

(3)

由于

而

所以

(4)

由分式性質可知，方程(4)解為零時，只能是分子為零,即

(5)

利用數學工具Matlab[5]對式(5)進行化簡最后得到一個一元十次方程

(-16B2)μ10+(8Bε1+16B2-B4)μ8+

(6)

其中參數ε1,ε2,ε3,ε4,ε5分別為

ε1=A2+AB2+2A-B2

ε2=2B-4AB

ε3=AB2+A

ε4=4A2B2

ε5=16AB2

該方程就是我們要求的最佳投擲角的精確方程解.對于一元十次方程我們知道沒有解析解(四次以下才有).因此，我們不能導出投擲角α的簡單公式.并且試圖通過降低方程的次數，來求解析解也不實際.唯一的辦法就是借助計算機求方程的數值解.

(A2+2A)2μ4-2A(A2+2A)μ2+A2=0

即

(A2+2A)μ2-A=0

又因為

sinα=μ

(7)

這一結果與其他文獻[1, 2]中報道的結果相一致，這就表明我們推導的精確方程(6)是正確的，同時也表明之前文獻報道的結論只是我們導出方程的一個特解.

3 實心球最佳投擲角方程的數值解

在實際投擲中，每位考生的出手高度及臂長都不相同，即使初速度v相同，系數A,B也不同，相應的方程(6)也有所差異. 現在舉例說明，假設某考生的臂長L0=0.53m，出手高度H=1.8m，出手速度v=10m/s，則相應的方程為

-0.044 9μ10+0.404 4μ8-0.002μ6-

0.734 3μ4+0.612 9μ2-0.128 8=0

通過Matlab軟件計算得到μ=0.584，其最佳投擲角α=35.75°如果用傳統的公式(7)計算得到最佳投擲角α′=40.63°．將這兩個最佳投擲角分別代入方程(1)、(2)分別求出投擲距離s=11.2m，s′=11.8m，兩者相差Δs=0.6m. 顯然，采取精確方程(6)與傳統方程(7)求解投擲距離相差較大，因此，手臂長度對投擲成績的影響在實際問題中不能忽略，這也說明我們模型更加準確.

4 最佳投擲角α與出手高度H和速度v的關系

保持v=10m/s和L0=0.53m不變，出手高度H變化，一般初中生的出手高度基本集中在1.8～2.5m，根據方程(6)利用軟件Matlab可以計算出不同H所對應的α，如表1所示. 我們發現隨著H的增加，α逐漸減小.但是，在出手高度H取邊緣值時，最佳投擲角也只相差Δα=0.472°，因此，在實際投擲實心球中，最佳投擲角α受H影響很小，可近似認為與H無關.

表1 最佳投擲角與出手高度的關系

如果已知考生的出手高度H和臂長L0，根據方程(6)利用軟件Matlab可以計算出不同v對應的α. 根據調查，初中生實心球出手速度主要介于4.5m/s～11m/s，在這個范圍內，我們假定出手高度H=2.0m和L0=0.53m，表2給出了幾組模擬數據.

表2 最佳投擲角與出手速度的關系

為了研究最佳投擲角與出手速度間的具體關系，我們先采用一次函數對散點進行擬合，我們發現擬合結果與散點基本吻合，如圖2所示. 其中擬合方程為：f(α)1=1.564v+20.699，擬合度R2=0.91.為了得到更加精確的定量關系，我們又采用二次函數對散點進行擬合，其擬合結果如圖3所示.擬合二次方程為：f(α)2=-0.239v2+5.278v+7.187，擬合度R2=0.98.

圖2 最佳投擲角與出手速度間的一次擬合關系

圖3 最佳投擲角與出手速度間的二次擬合關系

通過比較兩次擬合結果，得到最大相對誤差為

可以忽略不計. 因此一般情況下，我們仍就可以認為最佳投擲角與出手速度間為正相關關系[6]. 如果給出出手速度，利用方程f(α)1我們可以計算出對應的最佳投擲角的近似值.

為了得到出手速度，我們可以用攝像機把投擲過程拍攝下來，根據自由落體運動及勻速直線運動公式，我們可以求出出手速度. 在得到出手速度后，將其代入公式

f(α)1=1.564v+20.699

便可以得到最佳投擲角的近似值．通過調整投擲角來提高投擲實心球的成績.

5 結論

物理不僅是一門實驗科學，更是一門應用科學. 球類運動蘊含著豐富的物理知識，本文通過對原地后拋實心球建立簡單的物理模型，利用圖像和數據定性分析了投擲實心球遠近的影響因素. 通過分析給出了最佳投擲角與出手速度之間的定量關系，將這一關系應用到我們實際的訓練中，不僅可以正確指導學生訓練，取得優異成績，而且對球類運動的發展具有一定的指導意義.

1 蔡志東. 鉛球最佳投擲角的精確方程及數值解.大學物理,2005(24):16～18

2 紀東亮.淺析斜拋物體的最佳投射角和最大射程.中國教育技術裝訂,2008(11):42

3 石儉, 陳鳳珍, 盧啟奇. 原地雙手后拋實心球的技術分析與訓練方法研究——關于體育高考術科考試項目分析,2010,2(3):32～33,40

4 陳壽謙. 拋射體投射角和落地角互為余角的條件.曲阜師范大學學報:自然科學版,1994 (S2):111～112

5 張志涌, 楊祖櫻.Matlab教程.北京. 北京航空航天大學出版社,2001

6 劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書數學必修3.北京.北京：人民教育出版社, 2007.85～90