n個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的待定參數(shù)法*

周國(guó)全 祁 寧

(武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院物理系 湖北 武漢 430072)

1 前言

一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了兩個(gè)或多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的問題，便涉及簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成[1,2]．兩個(gè)同頻率、同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成問題，現(xiàn)行教科書一般都采用旋轉(zhuǎn)矢量疊加法(亦即參考圓方法)或復(fù)向量法[1～6]，這兩種方法比較直觀和簡(jiǎn)便；而對(duì)于多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，旋轉(zhuǎn)矢量合成法雖然原則上可行，但計(jì)算過程較為繁復(fù)，甚至不可行．本文提出了一套待定參數(shù)法，可十分簡(jiǎn)便地推導(dǎo)出多個(gè)同頻率、同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成振幅及初相位的計(jì)算公式．鑒于現(xiàn)行教科書和文獻(xiàn)對(duì)于簡(jiǎn)諧振子合成運(yùn)動(dòng)的待定參數(shù)法甚少提及[1～6]，本文特作介紹．

2 待定參數(shù)法的應(yīng)用的一般原則

在科學(xué)研究過程中，當(dāng)我們對(duì)一組觀測(cè)數(shù)據(jù)按照其固有的變化規(guī)律進(jìn)行某種曲線擬合時(shí)，如回歸分析中的最小二乘法，采用的就是待定參數(shù)法．在數(shù)理科學(xué)中，我們常常將某些函數(shù)按照其標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)行合成或分解，前者如數(shù)學(xué)中周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)分解，基于初值或邊值條件的微分(偏微分)方程的定解問題，有理分式的部分分式化分解；后者如量子力學(xué)中原子基態(tài)波函數(shù)的里茲變分法[7]、粒子物理中共振態(tài)對(duì)于布萊特-維格納曲線的參數(shù)擬合等都可應(yīng)用待定參數(shù)法加以解決[8]，本文關(guān)于n個(gè)同頻率、同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成公式的推導(dǎo)，也是待定參數(shù)法的一個(gè)很好的應(yīng)用范例．

當(dāng)我們按照具有m個(gè)獨(dú)立的自變量的標(biāo)準(zhǔn)形式的函數(shù)F(t1,t2,…,tm)，將n個(gè)已知的函數(shù)fi(t1,t2,…,tm), (i=1,2,…,n), 進(jìn)行合成運(yùn)算時(shí)，應(yīng)具有如下所述的恒等式

F(t1,t2,…,tm;c1,c2,…,cl)

(1)

式中ci(i=1,2,…,l)，是l個(gè)待定的常參量，而ti(i=1,2,…,m)，是m個(gè)獨(dú)立的自變量．這種合成運(yùn)算之所以能運(yùn)用待定參數(shù)法，其根據(jù)是，式(1)對(duì)變量ti的任意取值均成立，即它是一恒等式．因此我們可在函數(shù)F及fi(i=1,2,…,n)的定義域內(nèi)對(duì)ti任意取值，從而可得關(guān)于ci的若干獨(dú)立的方程，它應(yīng)有且僅有l(wèi)個(gè)獨(dú)立的參數(shù)方程，由此求出的ci值應(yīng)使式 (1) 成為恒等式．這就是應(yīng)用待定參數(shù)法的一般原則，但基于一個(gè)前題——必須首先證明標(biāo)準(zhǔn)形式的存在性，以保證合成公式的合理性．下面運(yùn)用待定參數(shù)法推導(dǎo)n個(gè)同頻率、同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成公式，并以此為例，闡述待定參數(shù)法的應(yīng)用原則與技巧．

3 n個(gè)同頻率同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成公式

假設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了n個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其中第i個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)xi(t)的方程為

xi(t)=Aicos(ωt+φi),(i=1,2,…,n)

(2)

其中Ai與φi分別是第i個(gè)諧振的振幅及初相位，ω是圓頻率．下面運(yùn)用待定參數(shù)法探求其合成振動(dòng)的振幅及初相位公式．

首先，我們必須證明合成振動(dòng)

仍然可寫成標(biāo)準(zhǔn)形式

x(t)=cos(ωt+φ)

即它仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)．這個(gè)結(jié)論可用高中生能理解的數(shù)學(xué)歸納法加以證明，先證明兩個(gè)同頻率、同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成結(jié)果仍為一簡(jiǎn)諧振動(dòng)

x(t)=Acos(ωt+φ0)≡
A1cos(ωt+φ1)+A2cos(ωt+φ2)≡

(A1cosφ1+A2cosφ2)cosωt-
(A1sinφ1+A2sinφ2)sinωt=

acosωt-bsinωt=A(2)cos(ωt+φ(2))

其中

a=A1cosφ1+A2cosφ2

b=A1sinφ1+A2sinφ2

因而

(3)

(4)

再用數(shù)學(xué)歸納法可很容易地推廣到n個(gè)同頻率、同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成的結(jié)果，它仍然是一簡(jiǎn)諧振動(dòng)(證明過程從略), 但運(yùn)用簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程證明這一結(jié)論更為簡(jiǎn)潔，(高中競(jìng)賽學(xué)生能夠理解), 這是因?yàn)橛?/p>

(5)

兩邊對(duì)t求二階導(dǎo)數(shù)可得

(6)

仍然滿足一般簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程，因此合成振動(dòng)x(t)必然也是一簡(jiǎn)諧振動(dòng)，也就是說合成振動(dòng)x(t)也具有標(biāo)準(zhǔn)形式x(t)=Acos(ωt+φ0)，其中A，φ0為待定的參數(shù)．運(yùn)用待定參數(shù)法，在以下恒等式中

x(t)=Acos(ωt+φ0)≡

(7)

令t=0，可得

(8)

(9)

將(8)、(9)兩式平方相加，即得

(10)

由于

AiAjcos(φi-φj)=

(11)

因此AiAjcos(φi-φj)對(duì)于i,j腳標(biāo)具有交換對(duì)稱性．于是式(10)可如下表達(dá)

(12)

因此

(13)

(14)

如下兩種特例情形值得討論：

(1)當(dāng)n=2時(shí)，由式(13)、(14)可自然地得到兩個(gè)同頻率、同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成振幅與初相位公式

(15)

(16)

正好與教材中用旋轉(zhuǎn)矢量法得到的結(jié)果[1,2]．

(2)當(dāng)n個(gè)同頻率、同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)同時(shí)還具有相同的初相位，即φ1=φ2=…=φn時(shí)，由(13)、(14)兩式可得合成振幅與初相位的正切分別為

A1+A2+…+An

(17)

tanφ0=tanφi，(i=1,2,…,n)

(18)

不失一般性，可取φ0=φi，(i=1,2,…,n)．

4 結(jié)論

綜合以上的論述可知，多個(gè)同頻率、同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成問題可運(yùn)用待定參數(shù)法十分簡(jiǎn)單地加以解決，其所得的合成振幅及位相公式——(13)、(14)兩式具有非常對(duì)稱、簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)，便于記憶．待定參數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)還在于確定待定參數(shù)的方程或方程組具有靈活的選擇性，即可選擇某些特殊的自變量而使待定方程(組)具有盡可能簡(jiǎn)單的易于求解的形式．也正因?yàn)槿绱耍▍?shù)法在許多科學(xué)研究過程中都得到了廣泛的應(yīng)用．

1 馬文蔚,周雨青,解希順.物理學(xué).北京：高等教育出版社,2014.16～20

2 沈黃晉,黃慧明,周國(guó)全.大學(xué)物理學(xué).北京：高等教育出版社, 2017.152～157

3 王志平.初探兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況.物理通報(bào),2011(6):69～70

4 康文秀.同頻率互相垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成.物理與工程，2005,15(6):26～28

5 陳大偉,斯小琴.Mathematica模擬簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成.物理通報(bào),2017,36(4):111～114

6 黃述熙,劉利輝.同向不同頻率不同振幅兩諧振動(dòng)合成的特點(diǎn).物理與工程，2002, 12(1):51～52

7 曾謹(jǐn)言.量子力學(xué).北京：科學(xué)出版社,1981.415～418

8 章乃森.粒子物理學(xué)(上冊(cè)).北京：科學(xué)出版社,66～67

9 王穎輝,侯建平.同方向同頻率諧振動(dòng)合成初相位的確定.物理與工程，2010, 20(3):14～16

10 袁明廉.如何確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相.物理教學(xué),1985(6): 6～7

11 領(lǐng)先.初相確定淺談.大學(xué)物理,1983,1(6):29～32