勻強磁場中任意剛性導線的動生電動勢

陳余華

(江西省大余中學 江西 贛州 341500)

黃亦斌

(江西師范大學物理與通信電子學院 江西 南昌 330022)

磁場中導體運動導致的動生電動勢是電磁感應的一個重要內容．而動生電動勢的計算也是高考和競賽的重要考點，也是大家討論的一個熱點[1]．文獻[2]研究了較為一般的情況，即剛性直導線在垂直于勻強磁場的平面內繞任一固定點旋轉．其結論是，無論固定點在哪里，導線中的電動勢都由其中點速度決定，并給出公式和相關證明．

本文欲將其結論推廣到更一般的情形，包括直導線的任意運動以及任意形狀的剛性導線的任意運動，并對結果給出更為嚴格和簡短的證明．

1 出發點

討論的出發點是一段導線微元dl在磁場中運動時產生的電動勢

dE=v×B·dl

(1)

該式不僅給出了電動勢dE的大小，也給出了其符號，而且以沿dl方向為正．根據矢量混合積的性質，該電動勢等于3個矢量v,B,dl所構成的平行六面體的體積(可相差一個負號)，如圖1所示．如果v,B,dl構成右手系，則dE>0；若三者構成左手系，則dE<0．當然，如果v,B,dl中有任何兩個方向相同(或相反)，則dE=0．所有這些都與動生電動勢的通常判斷結果(包括大小和方向)相同．

圖1 混合積v×B·dl

還需對剛體的運動做一陳述．在剛體上取一點D，稱為基點，則剛體的任一運動狀態可視為隨基點的平動和繞基點的轉動的合成．平動由vD表征，轉動由角速度ω表征．這里的角速度矢量沿轉軸，且由右手螺旋法則確定：伸出右手，讓四指繞向與旋轉方向一致，則大拇指的指向就是角速度的方向．這樣，剛體上任一點P的速度為

v=vD+ω×r

(2)

其中r為點P相對于點D的位置矢量．基點可以任取，從而vD和r隨之變化；但無論取哪一點為基點，剛體的角速度ω是確定的．

2 直導線做任意運動時產生的電動勢

結論一：剛性直導線在勻強磁場中做一般運動時產生的電動勢，等于它以中點速度做平動而產生的電動勢

E=B×l·vC=B·l×vC

(3)

如果導線限制在某平面內運動(比如垂直于磁場的平面，即文獻[2]所考慮的情形)，那么此時可以用圖2來對結論一進行說明．導線從位置AB運動到A′B′時掃過的面積，與導線僅做平動而運動到A″B″時所掃過的面積，二者顯然相等．故兩種運動所切割的磁通量相同，電動勢相同．

圖2 做平面運動的直導線

對于更一般的情形，可對結論一做如下說明：在中點兩邊對稱地取兩段微元，它們的速度都是中點速度加上相對于中點的速度．它們的后一相對速度一定相反，對總電動勢的貢獻相反，從而只剩下各自的中點速度導致的貢獻．由于相對運動的效應成對抵消，故而最終只剩下共同的、中點速度導致的效應．

結論一的嚴格證明如下.

v=vC+ω×xe

(4)

將其代入式(1)，考慮到微元為dl=dxe，積分，并注意vC,ω,e,B在積分時都是常矢量，得

EAB=BLvCcosθ=ωBS

(5)

圖3 處于勻強磁場中的導線

3 一般閉合回路中的電動勢

結論二：對于勻強磁場中任意形狀的剛性線圈，其做任意運動時的總電動勢為

E=B·S×ω=B×S·ω

(6)

其中S為其面積矢量．

這里先對面積矢量作些說明．

(1)面積矢量僅對回路才有定義．不閉合的導線沒有“面積矢量”一說．

(2)對于平面回路，其面積矢量的大小就是回路面積的大小，其方向沿回路平面的法向，且由右手螺旋法則確定：四指繞向與回路的繞向(電流或電動勢的正方向)相同，則大拇指的方向即為S的方向．

(4)N匝線圈的面積矢量是單匝線圈的面積矢量的N倍．如果匝與匝之間距離較大，或者線圈的繞行相當任意，那么可用下面的一般公式定義其面積矢量

(7)

(5)回路的面積矢量顯然跟原點的位置無關，而式(7)正滿足這一條，雖然表面上它似乎跟原點的位置有關．這是因為，原點換成O′時，r′=r+rO(圖4)．由于rO為常矢量，故

dr′=dr

于是

其中用到了∮dr=0．

圖4 面積矢量

對于常見的矩形線圈旋轉產生電動勢的問題中，當線圈平面與B平行時，線圈的電動勢最大，且最大值為BSω．用式(6)來解釋，那是因為此時B，S與ω兩兩垂直．仔細分析還表明，式(6)也正確反映了電動勢的方向(注意電動勢的正方向就是回路的繞向)．而圖3中的回路ABODA的電動勢依式(6)計算為

E=Bey×[-S(ex+ey)]·ωez=BSω

(8)

當然，式(8)也可以通過分析回路每段的電動勢而得到．

可以根據式(6)來判斷線圈的電動勢何時為零.這包括以下情形：

(1)ω=0，即線圈只做平動，無轉動；

(2)ω,B同向，即線圈的轉軸沿磁場方向；

(3)ω,S同向．對于平面線圈而言，這意味著線圈的轉軸垂直于線圈平面；

結論二的證明如下.

任取線圈剛體的基點D，把式(2)代入式(1)，積分，得

E=∮dE=∮(vD+ω×r)×B·dr=
vD×B·∮dr+∮dr×(ω×r)·B

其中vD,ω,B為常矢量，而

dr×(ω×r)=ω(r·dr)-(ω·dr)r=

其中rr為并矢(二階張量)．由于

故

S×ω·B=B×S·ω

其中，用到了面積矢量的定義(7)．證畢．

4 任意形狀的導線中的電動勢

結論三：對于任意形狀的剛性導線ALB，其在勻強磁場中運動時產生的動生電動勢由兩部分構成：直導線AB的電動勢和回路ALBA的電動勢，即

EALB=EALBA+EAB

(9)

該結論的證明非常簡單，幾乎不需要文字說明，僅圖5足矣．

圖5 一般剛性導線的電動勢

于是，根據結論一和結論二，導線ALB的電動勢為

EALB=B×S·ω+B×l·vC

(10)

對于直導線，式(9)和(10)的第一項為零；對于閉合線圈，它們的第二項為零. 而對于圖3中非閉合的空間導線BODA，根據結論三，其電動勢應該為回路BODAB的電動勢與直線BA的電動勢之和．前者由式(8)給出，后者與式(5)相反，故導線BODA電動勢為零.(當然，直接分段考慮也可得到該結論．)

1 楊培軍，王鵬.數學平均值在物理上的應用.物理通報，2015(5):22～25

2 徐洪圖，竇人鏡.導體棒轉動切割磁感線問題探微.物理通報，2017(3):52 ～ 53