金融數學中的若干前沿問題

杜帆

【摘 要】金融數學是近些年發展起來的邊緣學科，它在兩次的“華爾街”革命的基礎上產生與發展，并通過現代數學理論和方法的應用對金融的理論和實踐進行了數量分析。基于此，本文在對金融數學產生和發展分析基礎上對其前沿問題進行進一步分析，希望可以為金融數學的更好發展提供一些借鑒。

【關鍵詞】金融數學；前沿問題；探索研究

一、金融數學的產生與發展

20世紀初，在法國數學家巴歇里的《投機的原理》中，通過布朗運動，對股票價格進行描繪，金融數學由此而誕生。1905年，愛因斯坦做過相關研究，但未引起高度關注。1950年，薩廖爾開始全方位研究金融數學，這標志著金融數學真正進入發展期，現代金融學由此開始。

現代金融數學的發展，離不開兩次華爾街革命。在第一次華爾街革命中，將靜態投資組合理論研究并充分體現出來。1952年，馬爾科維茲提出投資組合問題，以均值-方差模型為基礎。開啟了通過數理化方法，研究金融問題的大門。1964年，夏普提出CAPM資產定價模型，明確資產預期收益率影響因素中系統風險的重要影響作用。1976年，羅斯提出套利定價理論，其認為若干個資產系統風險因素影響著資產價格，不單單是市場因素。

在第二次華爾街革命中，靜態決策朝著動態決策方向發展。1970年，固定匯率被浮動匯率取而代之，誕生了期貨、期權等多種金融衍生工具，促進了金融工程學的產生。1973年，休斯、布萊克等人共同提出了著名的“B- S”模式。隨后，MertonR.C.提出并大力推行期權定價公式。期權定價公式的產生，使期權交易在世界金融中占據重要地位，在近代金融經濟學研究工作中，具有里程碑式的重要作用。

二、金融數學中的若干前沿問題

1.利率的期限結構問題

對于“B-S模型”的理論內容而言，所謂的利率不是任意確定的，而是已經規定的常數。在實際中，利率的變化是比較繁瑣復雜的，債券利率的性質不同，其變化規律也就有所不同，債券利率的到期日不同，其變化規律自然而然也不同。也就是說，關于利率的期限結構方面，一般情況下可以通過收益率這種方式來進行表現。

在傳統的利率結構中，主要包括：市場分割理論、流動性偏好理論、無偏預期理論以及優先置產理論這四種理論。

在近期的利率期限結構模型中，主要包括：一般均衡模型、二項式網狀模型、無套利模型以及鞍模型。其中，一般均衡模型誕生于1986年，是由Cov-Ingersoll-Ross提出來的；二項式網狀模型誕生于1980年，是由Ho-Lee所提出的；無套利模型誕生于1987年，是由Vasicek提出來的；鞍模型誕生于1992年，是由Heath-Jarrow-Morton提出來的。

2.市場價格的波動性問題

不僅僅是在“B- S”模型中，在大力普及的其他模型中，通常都會假定某一隨機過程，例如：布朗運動等，都會導致股票價格發生波動，隨后再開展相關研究與分析工作，研究與分析工作的開展也是隨機進行的。然而，在大部分金融市場情形中，都難以與這些平穩的假設情況相適應，異常波動情形頻頻發生，例如：分別在1929年和1987年，整個股票市場都出現了崩潰情形。為了能夠將股票價格的有關變化規律正確、詳盡的表達出來，應當對以下幾個方面的因素進行認真考量：

（1）股票價格的依賴性能，對股票價格波動率的影響；

（2）股票價格的波動率，與其余隨機變量之間所存在的依賴關系；

（3）部分情形中，股票價格不會一直處于比較平穩狀態，可能會出現突然跳動情形。

通過運用隨機波動率模型，能夠將以上這些因素充分反映出來。通常運用的方法主要包括：GRCH模型及其推廣、隨機波動率模型、移動平均法以及隱含波動率模型。其中，GRCH模型及其推廣也被稱為自回歸條件異方差模型。除此之外，隨機微分方程與隨機最優控制這兩種數學工具，雖然起步比較晚，但是在整個金融領域中，已經獲得大力認可，并得到廣泛普及與應用，為金融行業的發展做出了非常卓越的貢獻。

3.突發事件問題

在小概率事件的范疇中，將突發事件包括進來。傳統的平穩隨機過程預測理論難以對一些比較重要的大型金融震蕩問題進行闡述。這里所說的重要的大型金融震蕩問題，包括諸多事件，比如：1987年發生的“黑色星期一”西方的金融崩潰、1997年發生的東南亞金融危機、1998年發生于美國的長期資本管理公司基金事件等等。在對股票價格的暴跌或暴漲情形做出闡述的過程中，可以對海岸線和宇宙星系模式的分形理論和混沌理論進行運用。通過分形理論與混沌理論的有關知識內容的運用，能夠將股票價格的暴跌與暴漲科學合理的闡述出來。

除此之外，在諸多的金融理論中，突變理論與沖擊理論也得到了廣泛的普及與運用。由于金融系統包括許多方面的知識內容，并且與其他系統存在著比較緊密的聯系，在金融數學的研究工作中，金融系統的復雜性仍是主要課題之一。同時，突發事件的產生屢見不鮮，并且對金融系統具有非常重要的影響。因此，在金融數學的課題中，對突發事件的研究仍然占據非常重要的位置。

4.市場的不完全性和信息不對稱性

現實中的證券市場，并不是完全市場，而是屬于不完全市場的范疇。也就是說，在金融證券市場中，市場中的證券與股票投資組合并不是自由、不受任何形式約束的，其離不開一些因素的限制。不完全市場的一般均衡理論是由達菲等人共同提出的。通過一般均衡理論的有關知識內容，在理論角度上，充分說明金融創新具有一定的科學性與合理性，與此同時，在社會資本資源配置效率的提升方面，做出了非常重要的貢獻。鞅理論被Karatzas等人引進，在金融市場不夠全面、系統的情況下，伴隨著鞅理論的大力引進，使原本比較棘手的衍生證券定價問題得以順利解決。現階段，在國外金融理論知識內容中，以鞅方法為基礎的定價理論仍然發揮著重要的主導作用，為國外金融理論的研究與發展做出了非常卓越的貢獻。endprint

除此之外，在現實的市場當中，參與的經濟人所掌握的信息并不是對稱的，也就是說，信息具有一定的不互通性，所掌握的信息存在著不一致情況。一旦信息出現不對稱的情形，經濟人和經濟人之間的相互對策就會出現問題，其中包括參與經濟人許許多多的信息層次，將其引入到問題的解決本身存在難度，倘若運用數學處理的方法對該問題進行解決，則更是難上加難。在金融領域的研究工作中，對重復對策、多人對策、隨機對策以及微分對策這些理論開展了進一步的研究，深化推動這些理論內容的發展，在未來的金融領域中，有著廣闊的發展空間。

5.實證研究

當前，在我國學術研究動態中，金融學注重將企業和證券市場的具體情況作為出發點，將企業與證券市場的實證研究工作放到更加突出位置。因此，在金融學的相關實證研究工作中，尤其突出強化數據的重要作用，倘若脫離了實際數據的檢驗與支持功能，金融數學實證研究工作的開展只是由概念至概念的研究，亦或是只是由模型至模型的研究，即便開展了相關實證研究工作，但是在取得重要金融涵義成果方面將存在非常大的難度。在開展金融數學實證研究工作的過程中，我們應當立足于實際，在對模型進行構建時，利用實踐中所取得的數據來完成，將數據中所隱藏的規律充分表現出來，并對新的金融概念進行高度概括。在對問題進行研究的過程中，應當對新的金融概念進行探索，通過對數學模型的構建，來完成對概念的表述，通過實際數據，來對有關知識內容的準確性進行檢驗。

三、結語

市場的發展與建設讓金融數學的概念越來越呈現出重要的發展態勢，其研究不僅影響著我國金融領域的發展，更影響著我國的經濟建設與戰略目標的制定。我們需要在金融數學領域不斷學習，并不斷對其前沿問題進行研究，提升自身金融數學能力，為將來有幸進入金融領域工作做好準備。

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