聚焦源頭問題提升數學素養
——復習課的幾點反思

王俊琦

（浙江省臺州市黃巖中學）

高三復習是對高中數學內容的全面回歸與整理，復習不是簡單的知識重復，應當關注數學問題的源頭，注重學生數學素養的提升.

一、精選題，重思想

設計意圖：縱觀近幾年浙江省高考，在解斜三角形中，邊、角的范圍探究是熱點.解三角形本身不難，但范圍問題涉及幾何、代數、不等式等綜合知識，學生在復習中還是覺得頭緒多，無法抓住問題的源頭.唯一值得探究的是已知一角和一邊的三角形，它是不確定的.

思考1：幾何直觀.三角形一邊及對角已知，形狀不確定，外接圓可以大小確定.由初中圓的有關知識，顯然可知.當A，O，D三點共線時，△ABC的周長、面積、BC邊上的中線最大

思考2：函數思想.范圍最值問題可建立函數關系，引進變量角B，每條邊可表示為B的三角函數，則

在△ABD中，由余弦定理知：

思考3：不等式的角度.在△ABC中，由余弦定理得：

二、找題根，解有方

例2.2017年全國卷（II）理科第12題：

已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面 ABC 內一點，則P■→A·（P■→B+P■→C）的最小值是 （ ）

該題入口較寬，坐標法是很容易想到的.極化等式知，設E為AD 的中點即當點P位于線段 AD 中點時最小，此時即的最小值是

簡析：由極化恒等式可知：

三、重變式，多交流

數學題海漫無邊，永遠解不完.教學生做一個題，感悟你得到什么，還會有什么？有比較才有發現，有比較才有思考，會比較方能辯別，會比較方能領悟．

例4.已知三角形ABC的面積是S，點P是三角形內的一點，且滿足，則 S△PBC∶S△PAC∶S△PAB的比為

變式1：已知三角形ABC的面積是S，點P是三角形內的一點，且滿足則 S△PBC∶S△PAC∶S△PAB的比為

變式2：已知三角形ABC的面積是S，點P是三角形內的一點，且滿足則 S△PBC∶S△PAC∶S△PAB的比為

變式3：已知四面體ABCD的體積是V，點P是四面體內的一點，且滿足則 VP-BCD∶VP-ACD∶VP-ABD∶VP-ABC的比為

一般的，已知四面體ABCD的體積是V，點P是四面體內的一點，且滿足則 VP-BCD∶VP-ACD∶VP-ABD∶VP-ABC=

設計意圖：從一般問題出發，學生思考問題，解決問題方法，并與同學們一起交流.給學生展示研究數學問題的一般方法，轉化與化歸的思想，從特殊到一般，從低維到高維的思想方法.

四、反思

（1）課堂上進行“一題多解”的教學，不但可以訓練學生的發散思維，還可以培養學生思維的靈活性和創造性.一題多解開闊學生思路，發散學生思維，讓學生學會多角度分析和解決問題.通過比較，擇其簡單方法，同時更要關注同性通法.通性通法的解題方法能有效地檢測學生對數學知識中所蘊含的數學思想和方法的掌握程度.

（2）好題不常有，遇到不放過.特別是源于教材和習題的題根.高考題給人以“題在書外，根在書中”的感覺.抓到了一個題源，就等于抓到了這個題族，這個題群，這個題系．比如阿氏圓的探究、圓錐曲線的定點定值探究、圓錐曲線的切線形式探究等等，都是培養學生探究能力的好素材.從學生實際情況出發，引導學生對數學知識進行內聯外拓，跳一跳，能摸到，體會數學學習趣味.

（3）課堂教學要體現“以學生發展為本”的教學理念，要求教師必須創造性地使用教材，創造性地設計學生活動.通過高質量的討論取得知識本質的共識，獲得切身體驗.在主動構建活動交流中對相關知識進行有效的拓展和遷移，拓展學生的思維深度，抓住事物的本質，找出事物間的內在聯系.通過多方面的變式探索研究，有意識地引導學生從變化的問題中發現不變的本質，從不變的本質中探索變的規律，優化學生思維品質，培養學生的數學核心素養.