一種適用于MIMO多路中繼信道的Lattice編碼方案

趙 翔,魏天偉

(1.中國科學院上海微系統與信息技術研究所,上海 200050;2.中國科學院大學,北京100049; 3.上海科技大學,上海 201210)

0 概述

物理層網絡編碼(Physical-layer Network Coding,PNC)在過去數十年里取得了非常大的成功[1]。 在文獻[2]中,PNC和嵌套Lattice編碼在雙向中繼信道(Two Way Relay Channel,TWRC)中的應用使得系統可達速率已經到了距離信道容量只差1/2 bit。之后,多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)系統在TWRC中的引入又進一步增加了系統的性能。文獻[3-6]描述了一些非常有效的編碼方案,如線性預編碼、嵌套Lattice編碼、串行干擾消除等。這些技術運用又使得通信系統的性能得到了很大的提高。

近年來,對多路中繼信道(Multi-way Relay Channel,MRC)的研究也越來越多。在多路中繼信道中,各個用戶通過中繼的幫助來互相共享信息[7-9]。特別地,文獻[8-9]的模型假設各個用戶都工作在互相配對的模式下。最近,文獻[10-11]的工作又設想了一種叫做全速率交換的系統模式,在這個模型中,每個用戶都需要知道所有其他用戶的信息。其實這個系統模型在很多場合都是適用的。比如自組織網絡,假設在這個網絡里面所有的節點都需要和其他節點共享某一個文件,但是每個節點都只擁有這份文件的某一些不同的部分,這就是一個典型的全速率交換模型。文獻[10-12]也對MIMO多路中繼模型的自由度(Degree of Freedom,DoF)進行了分析。然而,實現系統最優的自由度未必可以實現最好的系統性能和系統信道容量。文獻[3]提出的基于Lattice編碼和廣義奇異值分解(Generalized Singular Value Decomposition,GSVD)的方法在用戶數是2的時候(即系統模型退化成雙向中繼信道)能夠實現較好的性能,但是該方案對于用戶數大于等于3的情況下就不適用了。因此,在現有的技術基礎上,提出一種可以在有限信噪比下更加高效的逼近系統信道容量的普遍適用方案就變得很有意義。

本文針對全速率交換模型,提出一種新的編碼方案。為了達到最佳的系統性能,此方案結合了上述的Lattice編碼以及MIMO技術,并且也運用到了線性預編碼等傳統操作。

1 理論基礎

1.1 系統模型

如圖1所示,考慮一種MIMO MRC模型,中繼有N天線,每個用戶有M天線,每個用戶之間無法直接通信,各用戶必須通過中繼的幫助來獲取其他K-1個用戶的信息。假設信道是實信道,并且系統工作在全雙工的情況下。本文的方法可以直接拓展到半雙工的情況下。

圖1 K用戶的多路中繼信道模型

每一輪信道傳遞都是經過2個過程,上行過程和下行過程。在上行中,所有K個用戶同時向中繼發送信息,中繼的接收信道如下:

(1)

(2)

其中,Pk表示用戶k的功率限制。

在下行中,中繼將所有的K個用戶的信息同時廣播出去,每個用戶收到的信息為:

Yk=HRkXR+Zk,k=1,2,…,K

(3)

(4)

其中,PR表示中繼的發送功率限制。

在以上討論中,假設信道矩陣在整個過程中保持不變,并且矩陣中的各個元素服從某個獨立的分布。因此,這里的信道矩陣以接近1的概率趨近于滿秩。另外,假設信道矩陣在整個通信過程都是已知的。

1.2 可達速率

1.3 理論容量上界

現在根據已知結論描述基于MIMO的多路中繼下的容量上界。設用戶k的協方差矩陣為Qkk∈{1,2,…,K},那么從文獻[13]中的cut-set定理可知,MIMO多路中繼系統的最終可達速率空間可以描述為:

(5)

(6)

當用戶個數k=1時,cut-set定理里面的2個Cut如圖2所示。因此,本文中所提的MIMO多路中繼模型的可達速率空間就由式(5)和式(6)所描述的所有的可達速率的閉集合所構成。

圖2 當k=1時的多路中繼信道的等效模型

這個最優的可達速率空間可以通過優化用戶k的協方差矩陣Qk和中繼的協方差矩陣QR來實現。注意到log-det函數是一個凸函數,因此,整個問題是一個凸問題,可以用標準的凸優化工具來解決。

2 基于Lattice的編碼實現與應用

在這個部分中,主要考慮的情況是M≥N情況下的多路中繼信道。在本文結尾將簡要地介紹一下M

2.1 信道三角化

URHkR=RkRUkR

(7)

(8)

(9)

(10)

用戶k的發送功率限制為:

(11)

上述所有的操作均是線性的,并且完全沒有信息損失的。因此,可以專注于考慮式(3)和式(7)的中繼端收發方案的設計。

2.2 用戶編碼方案的設計

(12)

(13)

(14)

(15)

上述的第n個子信道接收到的信息向量可以寫作:

(16)

需要注意的是在每一個時隙l中,只有用戶l和用戶l+1共2個用戶處于激活狀態傳送信息。假設用戶k在第n個子信道所能在空間空發送的消息集合是Wk,n={1,2,…,2TRk,n},此集合中的元素ωk,n∈Wk,n就是實際發送的信息,其中,Rk,n是用戶在k第n個子信道發送的信息率。集合{ω1,n,ω2,n,…,ωK,n}就是第n個子信道的數據包。

其中,Vol(Λ)和LatticeΛ的Voronoi 區域的體積,Pk,n是用戶k在第n個子信道上所發送信息的平均功率。當T→∞時o(1)→0。因此,Rk,n和Rk′,n的關系可以表述為:

(17)

(18)

用戶在任一子信道的發送策略示意圖如圖3所示。

圖3 用戶上行發送策略

(19)

2.3 中繼的操作

(20)

dk,n)modΛk,n=ck,nmodΛk,n=ck,n,fork=l,l+1

(21)

(22)

2.4 下行鏈路用戶解碼

(23)

ck′+1,n,fork′=k,k+1,…,K-1

2.5 所提方案的可達速率

定理1當T→+∞,對于本文所考慮的多路中繼系統模型。如果下式成立,那么這樣一組可達速率空間(R1,R2,…,RK)就是可以實現的:

(24)

(25)

其中,{Pk,n} 滿足以下功率限制:

(26)

(27)

注釋1本文假設M≥N。文中所提出的方案也可以利用禁用N-M個天線的方式直接的推廣到M

3 漸進近似分析

現在分析在高信噪比情況下所提的方案和理論容量上界的差距。首先考慮K=2的情況(即雙向中繼信道),定義SNR=1/σ2。則有如下的結論:

定理2對于MIMO多路中繼信道,當K=2時,本文所提的嵌套Lattice編碼方案在高信噪比下可以近似地達到信道容量上界。

證明:從式(6)和式(25)可以看出本文方案在只考慮下行鏈路時可以達到信道容量上界的。因此,只需考慮上行的情況下是否可以達到信道容量上界。從式(5)可以得到:

(28)

(29)

另一方面,在高信噪比時,本文所提方案的功率近似平均分配的,因此,上行部分式(25)有如下表達方式:

(30)

因此,可以看出,本文所提出的嵌套Lattice方案在高信噪比下可以達到信道容量上界。證明完畢。

注釋2至此文截稿日止,只有文獻[3]所提出的GSVD的Nested-lattice編碼方案可以在高信噪比下近似地達到容量上界。本文提出了另外一種基于Lattice的編碼方案可以達到容量上界。這2種方案的主要差別在于本文的方案是利用Lattice編碼在用戶端預先消除了碼流間干擾,但是文獻[3]是利用GSVD的方法在中繼節點消除了碼流間干擾。

證明:根據式(24),在高信噪比下:

(31)

(32)

(33)

其中,式(32)是利用log-det函數的凹性以及詹森不等式得出的結果。將式(33)和式(5)對比即完成定理3的證明。

從定理3可以看出,本文所提出的嵌套Lattice 的編碼方案在高信噪比情況下并不確切逼近容量極限,但是這并不表明本文所提的方案并不是最優的。因為這個差距隨著SNR的增加并不能看出是否在減小。

4 各方案對比

在這一部分中,本文所提出的方案將被整理成優化問題,從而得到其最優速率,然后將其和傳統的其他方案進行對比。

4.1 可達速率

本文方案的優化問題可寫成如下形式:

subject to trQR≤PR,QR0

(34)

上述問題可以通過標準的CVX優化工具來解決。由于篇幅限制,這里忽略優化細節。

4.2 其他方案

作為對比,解碼轉發(Decode and Forward,DF)和放大轉發(Amplify and Forward,AF)方案也被列出。在DF中,需要中繼完全解碼從K個用戶發送過來的信號。此時可達速率空間就是一個K用戶的多址接入信道。DF中下行鏈路和本文所提的方案是一致的,都是廣播過程,可達速率限制也和式(23)一致。因此,DF的可達速率的優化問題可以如下表達:

subject to trQR≤PR,QR0

trQk≤Pk,Qk0,for?k

(35)

其中,集合SK{1,2,…,K}。

在AF模式中,中繼將接收到的信號向量乘以一個放大系數,這個放大系數取決于中繼的功率限制。其可達速率空間表達式由式(37)給出:

?k′∈SK,S?SKk′

(36)

subject to (36),trQk≤Pk,Qk0,?k,α>0

(37)

上述AF和DF優化問題同樣可以用標準的凸優化工具解決,這里忽略優化細節。

4.3 仿真結果

圖4 各種方案性能對比

從圖4中可以看出,本文的方案在高信噪比下,最優功率分配方案和平均功率分配方案基本一致的,這也大大地簡化了計算復雜度。從圖中也可以看出,本文所提的方案和容量上界的斜率是一致的。這就說明本文的方案實現了最大的分集增益。此外,從圖中可以看出本文的方案在信噪比為40 dB的時候距離容量上界大約是1 bit/channel的差距。這也和定理3相吻合。從圖4可以看出,本文的方案要比DF方案好5 bit/channel,并且這個差距隨著SNR的增長還是逐漸增長的。圖中也表明本文的方案在任何時候都要比AF的方案表現更好。原因是AF方案中將很大一部分功率浪費在了對噪聲的放大作用上面。

5 結束語

本文提出一種適用于MIMO多路中繼信道的基于嵌套Lattice的編碼方案,并推導出了這種編碼方案的可達速率。仿真結果表明,與傳統的解碼轉發模式和放大轉發模式相比,本文所提的方案有比較大的性能優勢,在用戶數K=2時,可以達到信道容量上界。

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