CT系統(tǒng)成像的討論

吳 瓊 ，劉 鈺

（1南通大學(xué) 電子信息學(xué)院 江蘇 南通 226001）

（2南京郵電大學(xué) 海外教育學(xué)院 江蘇 南京 210023）

1 引言

Radon于1917年提出二、三維物體可以由它在所有方向投影的逆變換實(shí)現(xiàn)重構(gòu)，Housefield在此基礎(chǔ)上研究出頭部X射線斷層成像，并獲1979年NOBEL醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)。

CT與X射線相似，可以在不破壞樣品的情況下，利用樣品對(duì)射線能量的吸收特性對(duì)生物組織和工程材料的樣品進(jìn)行斷層成像，以獲取樣品內(nèi)部的結(jié)構(gòu)信息。

CT旋轉(zhuǎn)中心的精確確定是保證圖像準(zhǔn)確重建的前提條件，CT系統(tǒng)安裝時(shí)若存在誤差，則會(huì)導(dǎo)致重建圖像出現(xiàn)偽影，影響成像質(zhì)量。因此需要對(duì)安裝好的CT系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定，即借助于已知結(jié)構(gòu)的樣品（稱為模板）標(biāo)定CT系統(tǒng)的參數(shù)，并據(jù)此對(duì)未知結(jié)構(gòu)的樣品進(jìn)行成像。本文將建立基于Radon的CT系統(tǒng)投影模型，來(lái)最終確定CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心的位置。

2 基于Radon的CT系統(tǒng)投影模型

在二維空間上的函數(shù)f(x，y)沿著任意投影射線方向的線積分就為其Radon變換。Radon逆變換相應(yīng)的就是指從這些線積分值反求得到原始被積函數(shù)。

設(shè)f(x，y)是在實(shí)數(shù)集的某個(gè)有限區(qū)域外恒為0的連續(xù)函數(shù)，f的Radon變換是定義于實(shí)數(shù)集上所有直線L組成的空間上的函數(shù)：

由于每根直線都有一個(gè)參數(shù)表示：

其中d是直線L到原點(diǎn)的距離，α是直線L的法向量與x軸正向的夾角，從而(α，s)可以用來(lái)作為每一條直線L的參數(shù)表示。

從而Radon變換表示為：

設(shè)一束X射線的發(fā)射-接收向量為：

對(duì)應(yīng)于射線A，如果X射線穿過(guò)第i個(gè)像素（意味ai=1），則吸收了Pi。穿過(guò)的下一個(gè)像素如果編號(hào)為b，則在傳出能量的基礎(chǔ)上再吸收Pb。

因此對(duì)射線A，吸收率為：

對(duì)M=512×180個(gè)探測(cè)器光線向量Am和對(duì)應(yīng)吸收率的數(shù)據(jù)pm。則我們得到M組關(guān)系是：

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為由這M個(gè)方程組確定p_i (i=1，2，…，K)。

上面5.2.6式為非線性關(guān)系，把它轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系：

即線性方程組為：

因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解這個(gè)矩陣。

運(yùn)用此投影模型可以更好地進(jìn)行圖像的還原。

3 對(duì)于模型精度的檢驗(yàn)

通過(guò)重建后的圖像與原始圖像進(jìn)行差異比較，分析參數(shù)標(biāo)定的精度。其客觀標(biāo)準(zhǔn)是采用下面三個(gè)評(píng)價(jià)判據(jù)。

（1）歸一化均方距離判據(jù)s，即

式（9）中，tu，v，ru，v分別表示測(cè)試模型和重建后圖像中第u行，v列的像素密度。t-為測(cè)試模型密度的平均值；圖像的像素為256×256。s=0表示重建后圖像與原始圖像完全一樣。s值越大表示兩者偏差越大。

（2）歸一化平均絕對(duì)距離判據(jù)r，即

r=0，說(shuō)明沒(méi)有誤差。r增大，說(shuō)明誤差增大。

（3）最壞情況距離判據(jù)h，即

其中[N/2]表示小于N/2的最大整數(shù)，

上述三個(gè)參數(shù)對(duì)不同類型的圖像誤差，其敏感程度不同。將數(shù)據(jù)帶入，確定參數(shù)標(biāo)定的精度。

4 對(duì)投影及成像模型的評(píng)價(jià)

本文采用Radon模型，把非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，大量的方程組轉(zhuǎn)化為矩陣計(jì)算，運(yùn)用最大線性無(wú)關(guān)組減少方程數(shù)量，簡(jiǎn)化模型求解。從三個(gè)參數(shù)方面對(duì)于模型進(jìn)行檢驗(yàn)，增加了模型的準(zhǔn)確性。同時(shí)模型具有堅(jiān)實(shí)可靠的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，可以較好的完成圖像的還原。由于篇幅的限制，本文并未提出如何改進(jìn)模型，增加其精確度的方法。

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