基于解析法判別一維光子晶體負折射特性

劉 鶯 ，李 巖 （通訊作者）

（1西安石油大學 理學院 陜西 西安 710065）

（2西安石油大學 理學院 陜西 西安 710065）

1 引言

1968 年，前蘇聯科學家Veselago[1]首次提出了一種被稱為左手材料[2]（left-handed materials，LHMs）的新型人工電磁介質材料，即當電磁波在這種介質中傳輸時，電磁波的電場矢量E、磁場矢量H和波矢量k之間服從左手螺旋定則。相反，當電磁波在傳統材料中傳輸時，電磁波的電場矢量E、磁場矢量H和波矢量k之間服從右手螺旋定則。現在，通常稱傳統的電介質材料為右手材料[3]（right-handed materials，RHMs）。Veselago研究發現，新型的左手材料存在有一些非常引人注目的現象，例如反常多普勒頻移、反常Cherenkov輻射等，特別是這種材料具有負折射率(Negative Refractive Index，NRI)特性，即當電磁波由真空入射到左手介質表面后，由于左手介質的介電常數和磁導率同時為負，導致其折射率為負值，從而使得折射波與入射波位于界面法線的同一側，這種現象被稱為負折射現象。Veselago指出，利用負折射現象可以制備超透鏡、超棱鏡等新型的光學器件。1996年制作出了這種具有負折射特性的左手材料，從而使得這種新型人工電磁介質的研究掀起了一場熱潮。

隨著LHMs介質的研究，具有負折射特性的光子晶體也引起了科研工作者的廣泛關注。Dowling等人[4]用一維Kroning-Penney模型得到一維光子晶體的色散關系，預測一維光子晶體中也存在負折射效應。黃弼勒等人[5]利用數值法研究了一維光子晶體的負折射特性。陳園園等人[6]利用電磁場的折射從理論上定義了一維光子晶體的負折射特性，并指出該特性對光束位移的控制以及在波分復用系統中將有很直接的應用。在LHMs中，介電常數和磁導率同時為負，因而其有效折射率為負；而在光子晶體中，介電常數和磁導率同時為正（即為RHMs），也會出現負折射這一奇妙的現象。但S.Foteinopoulou等人[7]指出，光子晶體中負折射現象的出現并不能保證其具有負的折射率或者符合左手行為，即在光子晶體中，可能存在符合左手行為的負折射現象（即n＜0且s k＜0），也可能存在不符合左手行為的負折射現象（即n＞0且s k＞0）。因此，在研究光子晶體中的負折射現象時，如何判定這種材料的左、右手行為成為了研究其負折射現象的前提。

本文利用解析法研究了電磁波在一維光子晶體中的傳播特性，分析電磁波在光子晶體中傳輸的群速度和能流密度與波矢量之間的關系，推導出一維光子晶體中符合各向同性的左、右手行為的判定標準，對其折射現象進行定量分析。

2 原理

2.1 一維光子晶體模型

如圖1所示，一維光子晶體由A和B兩種不同介電常數材料周期排列構成。d1和d2分別為A、B介質層的厚度，空間周期（即晶格常數）a=d1+d2，ε1，μ1和ε2，μ2分別為A、B兩種材料的介電常數和磁導率。頻率為ω的平面波從左往右以θ0角斜入射到光子晶體表面。

圖1 一維光子晶體結構

2.2 群速度（vg），能流密度（S）與波矢量（k）之間的關系

式中，D為電位移矢量，B磁感應強度矢量，E電場強度矢量，H磁場強度矢量。

當平面波，即：

在上述對于線性、各向同性的介質中傳輸時，

式中，μ和ε分別為磁導率和介電常數。

則介質中電磁場所滿足的Maxwell方程組在k空間的表示式為：

將（2-2-4）式代入能流S的定義式可得：

由上式可知，若介質的電磁性質滿足ε＜0且μ＜0，則k與S是反向的，即有k?S＝－1，此時介質中的電磁場量E、H和k滿足左手螺旋關系，因而，這是滿足這種關系的材料被稱為左手材料。反之，若介質中的電磁場量E、H和k滿足左手螺旋關系，則會使得介質的電磁性質滿足且 ，這必然導致k與S的反向，即有k?S＝－1。同樣，若介質的電磁性質滿足ε＞0且μ＞0，則k與S是同向的，即有k?S＝1，此時，介質中的電磁場量E、H和k滿足右手螺旋關系，反之亦然

而由文獻[8]可知，在各向同性的均勻介質中，窄頻電磁波的群速度方向與能流的方向一致。因此，利用關系式即可以判斷材料的左、右手性質。

2.3 一維光子晶體中色散關系和群速度的計算

根據薄膜光學理論，光在每層介質中的傳播特性可

由一個2×2的特征矩陣完全表示[9]。對于TE波，單層介質的特征矩陣為：?

n0為真空折射率，θ0為光波的入射角，β和κ分別是波矢k的x分量和z分量，a是介質層厚度，c是光速。

對于由n1和n2兩層介質組成的一個基本周期單元（如圖1所示），其轉移特征矩陣為式（2-3-2）

其中，A，B，C，D為M的矩陣元。光波在介質層A和介質層B中傳播時，波矢k的z分量是折射角介質層的折射率是

由Bloch定理，在周期性界面處場矢量滿足（k為Bloch波矢）：

由周期系統中的布洛赫定理，可得到一維光子晶體中的色散關系：

利用類似的步驟，可得TM波滿足的轉移特征矩陣：

并得到類似于式（2-3-6）的色散關系，其中

由此可知，利用（2-3-6）式，能夠得到任意光束以θ0角度斜入射到光子晶體中的色散關系，即能帶結構。

在不考慮損耗的情況下，可以定義波矢量只有x和z方向的分量，即K=βx+Kz，因此，一維光子晶體中的群速度可以表示為[10]：

將（2-3-9）式分別帶入（2-3-9a）、（2-3-9b）中得（2-3-10a）、（2-3-10b）如下所示：

3 計算和討論

假定各向同性介質的折射率是n，則波失k與角頻率ω具有關系k2=n2ω2/c2。對于給定一個頻率ω，在簡約布里淵區，介質中傳播的平面波的波失k的集合是一個在k空間中的圓。能流垂直于等頻率面或等頻率曲線，且指向頻率增加的方向。因此，借助等頻率線圖，我們可以直接判斷的符號，并與本文的理論計算值相互比較。

3.1 一維光子晶體中右手行為的判定

首先選取的一維光子晶體是由Al和B兩種材料構成的。其中，Al和B的在軟x射線波段的平均折射率分別為0.9814、0.9065，真空折射率為1.0，介質層厚度比a為晶格常數，歸一化頻率當光波正入射時的能帶結構如圖2所示。

圖2 一維光子晶體能帶圖

由圖2可以看出，該一維光子晶體在歸一化頻率為[0.518，0.542]的區間內存在一個很小的帶隙。并利用解析法計算該一維光子晶體的等頻率圓如圖3所示。由圖3可知，在歸一化頻率區間[0.05，0.3]內，該一維光子晶體TE模的二維等頻率圓隨頻率的增加而擴張，且為圓形，說明在該頻率范圍內，介質表現出各向同性的右手材料的電磁性質。同時，圖4為在不同頻率下，單位群速度與單位波矢的點積與入射角的關系，圖中的曲線為擬合曲線，圖例給出了擬合曲線的無單位頻率。由圖4可知，在此頻率范圍內該一維光子晶體的單位群速度與單位波矢的點積計算結果在數值上嚴格等于1。由此可知，本文理論計算結果與一維光子晶體中各向同性的右手行為的判別標準非常吻合。

圖3 TE模二維等頻率圓

圖4 單位群速度與單位波矢的點積（）

3.2 一維光子晶體中左手行為的判定

我們利用文獻[11]的參數進行計算，并與文獻[11]中的負折射結果進行了對比。取介質層A為氧化鋁，介電常數為8.9，厚度為0.5cm；介質層B為真空，真空折射率為1.0，厚度為0.5cm，晶格常數1.0cm，頻率單位采用GHz。光波正入射時的能帶如圖5所示，該計算結果與文獻[11]的圖2（b）完全相同。由圖5可以看出，該一維光子晶體在[5.55GHz，8.9GHz]的頻率區間內存在一個帶隙。

圖5 一維光子晶體能帶圖

并利用解析法計算該一維光子晶體的等頻率圓如圖6所示。由圖6可知，該一維光子晶體在第二能帶的邊緣存在著一個TM 模的負折射區。且在頻率區間[9.5GHz，12.0GHz]內，該一維光子晶體TM模的二維等頻率圓隨頻率的增加而收縮，近似于一個橢圓，這與文獻[11]的圖2（c）結果完全一致，說明其在該頻率范圍內是近似于各向同性的左手負折射區。同時，圖7為在不同頻率下，單位群速度與單位波矢的點積與入射角的關系，圖中的曲線為擬合曲線，圖例給出了擬合曲線的頻率（GHz）。由圖7可知，在此頻率范圍內該一維光子晶體的單位群速度與單位波矢的點積計算結果在數值-1附近小幅波動，波動范圍為（0.000～0.218）。

由此可知，本文的理論計算結果與一維光子晶體中各向同性的左手行為的判別標準基本吻合。

圖6 TM模二維等頻率圓

圖7 單位群速度與單位波矢的點積（）

4 結語

利用理論解析法研究了一維光子晶體中群速度、能流密度與波矢量之間的關系，從而推導出了一維光子晶體中各向同性的右手行為和左手行為的判別標準。由此本文得出，在一維光子晶體中，當光波的單位群速度與單位波矢的點積為1時，表現為各向同性的右手行為；當光波的單位群速度與單位波矢的點積為-1時，表現為各向同性的左手行為。對于一維光子晶體負折射特性判別標準的研究，為其在透鏡和棱鏡制備等方面打下堅實的基礎，也為其進一步的實際應用提供了良好的理論指導。

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