邊界能量圖研究的綜述

鄧 波,李學(xué)良

(1.南開大學(xué) 組合數(shù)學(xué)中心，天津 300071;2.青海師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，青海 西寧 810001)

圖G的能量ε(G)定義為其鄰接矩陣特征根的絕對(duì)值之和.設(shè)G是一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)的圖，如果G的能量值等于n個(gè)頂點(diǎn)的完全圖的能量值2(n-1), 則稱圖G為邊界能量圖.介紹了近年來關(guān)于邊界能量圖研究方面的主要結(jié)果.

圖的特征根；圖能量; 邊界能量圖；拉普拉斯能量

關(guān)于圖能量及其應(yīng)用的相關(guān)內(nèi)容,可以參考文[2-5].

關(guān)于圖能量，一個(gè)很自然的問題是: 哪類圖具有最大的圖能量? 起初，人們通常會(huì)認(rèn)為當(dāng)圖越稠密，則對(duì)應(yīng)圖的圖能量越大，因此認(rèn)為完全圖Kn具有最大的圖能量，其能量值為ε(Kn)=2(n-1).實(shí)際上，存在大量的圖滿足其圖能量是大于這個(gè)值，這類圖被稱為是超能量的.超能量圖的概念提出后，陸續(xù)出現(xiàn)許多尋找和刻畫超能量圖的結(jié)果[6-8]，不過這個(gè)研究方向很快被發(fā)現(xiàn)是平凡的，原因是Nikiforov通過使用概率方法證明了幾乎所有的圖都是超能量的.類似地，如果具有n個(gè)頂點(diǎn)的圖G的圖能量小于n(或者n-1),則圖G是次能量的(或者是強(qiáng)次能量的)，相關(guān)的研究結(jié)果見文[9-11].

次能量圖的概念源于化學(xué)實(shí)驗(yàn)，人們?cè)诨瘜W(xué)研究中很早就發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)分子圖的能量是大于其頂點(diǎn)數(shù)的.1973年理論化學(xué)家England和Ruedenberg發(fā)表在J.Am.Chem.Soc.上的一篇文章曾提到這樣一個(gè)問題[12]: 為什么化合物的能量總大于其化學(xué)圖的階數(shù)? 圍繞這個(gè)問題,Gutman等[9]進(jìn)行了相關(guān)的研究，給出具有n個(gè)頂點(diǎn)和最大度為Δ的樹是次能量的充分條件，并且分別……