數學軟件在數學建模中的運用

王軍鷹

摘要

數學是基礎類學科，在社會各領域中都有著十分突出的表現，在民眾日常生活中有著不可取代的地位與價值。信息時代的不斷發展，使得數學與信息技術之間的關聯更加密切，各種數學軟件開始出現。本文將通過對數學軟件的介紹，對數學軟件在數學建模中的具體應用展開全面論述，旨在提高數學軟件應用水平，實現理想化數學建模模式。

【關鍵詞】數學建模 數學競賽 數學軟件 數學問題

所謂數學建模是指，為一特定目的，按照現實世界特定對象的內在規律，對其實施必要簡化假設，以通過合適的數學工具得到相應數學結構的過程。數學建模不僅在教學領域中得到了廣泛應用，在工程建設以及其他各個領域中也有著不可取代的價值。為進一步提升國內數學建模整體水平，確保建模優勢能夠得到有效發揮，業界學者開始將各種數學軟件運用到了數學建模之中。

1 數學軟件

所謂數學軟件是指，制作數學動畫與圖形、實施數學運算以及運籌規劃等行為的軟件，是數學應用工具與數學方法的直觀呈現，可通過數學方法與數學應用對其進行拓展。通過研究發現，數值計算軟件會通過數值方式完成相應問題解答，總體軟件共分為數學軟件系統、程序庫以及軟件包三個級別。其中程序庫由各種功能模塊以及算法程序所組成;為某種應用設計程序所組成的便是軟件包;而軟件系統擁有用戶界面語言以及管理系統兩部分內容，會通過對具體問題特性以及類型進行分析的方式，選擇出最佳的算法，以對問題展開精準處理。

與數值計算軟件有所不同，符號運算軟件會利用方程式以及符號表達式，對問題展開演算與推導，會利用函數展開以及代數演算等功能，精準展開問題處理。

2 數學軟件在數學建模中的具體應用

為對數學軟件在數學建模中的應用展開詳細研究，本文將以數學競賽某一問題為例，對數學軟件具體運用方式進行全面分析。

2.1 應用過程

（1）競賽題為“血管的三維重組”，在此由于時間限制，對原題目進行省略。題中假設將一些血管視為特殊管道，球心沿曲線球滾動包絡而管道表面。為對建模過程進行簡化，假設管道內所有管道平行切片與軸線都只有一個交點，且球半徑長度固定不變，切片圖像像素尺寸與間距尺寸都為1，求管道半徑與中軸線具體計算方式，并繪制中軸線平面投影圖。

（2）在對問題進行詳細分析之后，可以發現此題為典型的圖像處理題，題目中圖像信息量相對較為龐雜，單純依靠人工很難完成建模任務，需要借助計算機技術對其進行分析，此時數學軟件優勢便充分體現了出來。在此將運用Mathematica軟件，對圖像信息展開全面分析。在對該軟件進行具體應用過程中，會通過下達Import命令，將BMP圖形“0.Bmp”轉化為相應矩陣，整體矩陣形式為512×512的大型矩陣，其中白色點對應1，黑色點對應0，在下達ReadBMP轉換命令時，白色點隊形255，黑色點對應0。因為整體信息數據量相對較大，所有數據所具有的價值并不相同，其中以邊界點數據價值最為突出，可通過對邊界點數據進行過濾的方式，降低整體數據分析任務量，以通過編程的方式完成邊界點過濾任務，進而按照邊界點數據完成三維圖形繪制任務。此時管道形象會直觀呈現出來，可通過對軟件動畫模擬功能的進一步運用，對管道動態三維圖像進行繪制，并得到相應解題提示。

（3）在獲得相應提示之后，相關人員需要對問題展開分析。先制作一串球，并運用一個平面實施切割，以獲得一串圓的切面圖形，而這些圓的包絡線便是圖形邊界。在所有圓之中，有一個圓半徑長度最長，因為切面與中軸線只有一個交點，因此以該焦點為中心的平面和球的交線，便是大圓，球的半徑便是其半徑。因為球交線包絡線便是切面圖形，園內各點到邊界的距離，以圓心長度最長，所有圓心邊界距離以大圓圓心為最大，所以在切面和中軸線只有一個交點，且球半徑一定時，切面圖形到邊界最大距離點便是切面和中軸線交點。通過該點，相關人員可以很快計算出，該點到邊界之間的距離，便是球半徑長度。

（4）在完成相應分析之后，便可以展開半徑與中軸線計算。相關人員可按照前面的分析，按照尋找每層邊界點的方式，計算出到邊界線距離中的最大內點與其到邊界之間距離，進而完成球半徑、切片交點位置以及中軸線計算任務。

（5）在得到中軸線之后，計算人員要利用ListPlot命令，完成中軸線在XY、XZ以及YZ平面中的投影繪制，且要用Fit命令，完成投影線方程擬合。在此過程中，計算人員可按照數據點圖形，合理對圖形形狀擬合曲線種類進行選擇，以對擬合曲線和數據吻合程度進行保證。其中在進行YZ面投影圖制作時，要對反正切函數圖形相似的圖形分布予以高度關注，要運用Fit命令，通過對函數ArcTan的運用，展開投影方程擬合，以獲得相應圖形;在實施XZ平面投影圖制作過程中，可運用ListPlot命令完成中軸線交點投影圖繪制，并要通過對多項式的運用，完成方程擬合;利用ListPlot命令，測繪出中軸線交點在XY平面投影圖，且要運用圓方程展開方程擬合。因為所獲得的所有的擬合曲線圖形，與計算結果相一致，所以計算人員可按照具體要求，完成中軸線參數方程組合。

（6）在對管道三維圖進行重組過程中，計算人員可通過對三維作圖命令ScatterPlot3D的運用，按照交點坐標完成中軸線交點空間圖形制作。同時還可以通過對球心沿中軸線進行滾動的一串球，展開管道空間重組。

2.2 改進建議

在本次計算過程中，計算人員只是對像素中心間距離進行了考慮，若截面與中軸線交點位置不在中心位置，則此計算方式將不再適用。所以計算人員還要對其他位置的交點計算方式展開分析，不僅要對交點附近點展開詳細分析，通過重復上述計算過程的方式，獲得準確的交點位置，同時還要對邊界點像素展開深度分析，要利用上述計算對外邊界以及內邊界進行獲取，并要運用外邊界完成球半徑計算。為對整體計算過程進行簡化，計算人員可只針對交點附近像素點展開分析，并要運用邊界點完成中心計算任務，以通過計算值與邊界點中心到外邊界距離進行相加的方式，計算出實際的半徑數值。但因為圖形數據精度為11所以在結果中對像素點展開詳細分析，對小數點后若干位數值進行求取，價值并不高，沒有必要。

2.3 討論

此次算法是在實際例子中所產生的，在進行數學模型建設時，建設人員需要對模型結果實用性與適用性進行保證，要確保其能夠與實際相符，以便從具體例子中獲取到更加具有普適性的模型。本次問題的計算關鍵，是命題I，但在進行命題1證明過程中，計算人員卻遇到了一定的問題，其不得不思考，在相應假設之下，命題1是否成立，以確定競賽題本身的數學表述是否存在問題。

本次例子計算過程，對數學軟件數值計算進行了全面展示，其在圖形處理以及數據處理方面的優勢，也得到了有效發揮。目前國內所使用的Mathematica以及其他軟件，都在數學建模競賽題解答中得到了有效運用，其中Mathematica軟件，具有軟件大小合適以及尋找參考資料較為簡單等方面的優勢，會在數據建模過程中起到十分積極的作用。總而言之，數學軟件在數學建模中有著不可忽視的價值與作用，只要使用者可以運用得當，便可以收獲到較為理想的建模效果。

3 結束語

通過本文對數學軟件相關內容的論述，使我們對數學軟件及其在數學建模中的具體運用方式有了更加清晰的認知。除本文所介紹的數學競賽運用案例之外，數學軟件還可以應用到工程建設以及其他領域的數學模型建設之中，可通過對信息技術的科學運用，實現最優化數學問題解決模式，能夠對最終問題解決質量進行保證，以達到理想化模型運用效果。所以為確保數學軟件所具有的優勢能夠完全發揮出來，有關部門要做好人員建模培訓工作，以對人員軟件水平進行不斷提升，確保各種數學軟件可以真正為人類生活以及社會發展做出更大貢獻。

參考文獻

[1]趙曉花.數學建模過程中計算機的應用探究[J].山東工業技術，2018（12）：133.

[2]劉麗華.數學軟件在數學建模課程中的應用研究[J].高教學刊，2016（02）：81-82.

[3]杜輝，楊云峰，曾昭英，趙提財.數學軟件在研究生數學建模實驗中的應用[J].科技視界，2015（11）：123+196.

[4]許洪睿.數學分析及數學軟件在數學建模當中的應用探究[J].電子測試，2015（03）：156-158.

[5]王增波，周勇，彭仁忠.數據處理方法在數學建模競賽中的應用[J].軟件導刊，2015，14（01）：200-201.