線性算子定義的k一致近于凸函數類

李書海

（赤峰學院，內蒙古 赤峰 024000）

1 引言

用A表示單位圓盤U={z:|z|＜1}內解析且具有形式

的函數f(z)的全體.用A-表示A中子類且其元素滿足條件

設 0≤β＜1,函數 f(z)∈A 屬于一致凸函數 UK(k,β),當且僅當([1-2])

同樣，函數f(z)∈A屬于一致星象函數US(k,β)當且僅當([1-2])

顯然 f(z)∈UK(k,β)當且僅當 zf'(z)∈US(k,β).

定義 A([3]) 函數f(z)∈A屬于UC(k,γ,β),當且僅當

其中 g(z)∈US(k,β).

定義 B([3]) 函數f(z)∈A屬于UQ(k,γ,β)當且僅當

其中 g(z)∈UK(k,β).

設 αj∈C(j=1,2,…,l),βj∈C-{0,-1,-2,…}(j=1,2,…,m),廣義幾何級數定義為

其中(a)n=a(a+1)…(a+n-1),n∈N={1,2,…}.

令 h(α1, …,αl;β1, …,βm;z)=zFl;m(α1, …,αl;β1, …,βm),則Dziok-Srivastava 算子([4-7]),Hlm(α1,…,αl;β1,…,βm)定義為

其中 ?n(α1,…,αl;β1,…,βm):

且由[6]可知

利用（1.1）和結合(1.7),(1.8),(1.9)以及(1.10)式,我們有

其中

設函數f(z)屬于A,作者AL-Oboudi在[8]中引進線性算子:

且

從(1.11)和(1.14),我們得到

顯然 τ=0,ζ=1時得到文[4]中的 Dziok-Srivastava算子；ζ=0時得到F.M.Al-oboudi在文[8]中定的算子;ζ=1時得到文[9][10]中引進的算子.

定義 1.1 設函數 f(z)∈A 屬于 US(τ,λ,ζ,k,β)當且僅當

定義 1.2 函數 f(z)∈A 屬于 UC(τ,λ,ζ,k,γ,β)當且僅當

其中 g=US(τ,ζ,k,β).

令

本文中，我們首先證明屬于函數類 UC(τ,λ,ζ,k,β)的充分條件，利用此條件給出函數類的極值點、積分表達式、偏差定理，并討論半徑問題.

2 主要結果

定理 2.1 設 tf(z)具有形式(1.1).設 k≥0,0≤β＜1,0≤γ＜1,λ≥0,τ∈N0和

則 f(z)∈UC(τ,λ,ζ,k,γ,β).

證明 由定義可知

上述界小于(1-λ)當且僅當

定理 2.2 設 f(z)∈A-,則 f屬于 UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β)當且僅當

證明 設 f(z)∈UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β).因不等式 Reω＞k|ω-1|+γ

當且僅當 Re(ω(1+kei?)-kei?)＞γ.令則

上式等價于

再令z→1-時得到

由此推出

即

相反,設(2.1)式成立.要證明 f(z)∈UC-l,m(τ,λ,ζ,k,γ,β).因為

和

容易推出E-F＞0,即條件(2.1)式滿足，證畢.

當f(z)=g(z)時得到

定理 2.3 設 g∈US-(τ,λ,ζ,k,β)則

其中 |Q(t)|＜1.同樣

其中μ(x)是概率測度且x={x:|x|=1}.

證明 當k=0時顯然成立.設k≠0，則g∈US-

l,m(k,β)和時,我們有其中 |Q(z)|＜1,由此推出

μ(x)是概率測度，此時

定理 2.4 設 g∈UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β)，則

其中μ(x)是概率測度X={x:|x|=1}.

定理 2.5 設 g∈US-(τ,λ,ζ,k,β)則

證明 因 g∈US-(τ,λ,ζ,k,β)，我們有

由此推出

和

同樣得到

和

證畢.

定理 2.6 設 f∈UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β),則

證明 因 f∈UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β),利用定理 2.1,我們有

從而

結合

得到

同樣

和

得到(2.9).證畢.

定理2.7 設gm(z)=z-∑∞n=2bj,mzj∈UC-(τ,λ,ζ,k,β),m=1,2,則

定理2.8 設fm(z)=z-∑∞n=2bj,mzj∈US-(τ,λ,ζ,k,γ,β),m=1,2,

則

證明 設 f1(z),f2(z)∈UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β),由定理 2.2,我們有

和

由定理 2.2 得到 f(z)∈UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β).

〔1〕S．S．Hams,S．R．Kulkarni and J．M．Jahangiri． Classes of uniformly starlike and convex functions[J]．Internat．J．Math．Math．Sci．,2004,Issue 55,2959-2961．

〔2〕S．Shams and S．R．Kulkarni ．On a Class of Univalent Functions Defined by Ruscheweyh Derivatives [J]．KYUNGPOOK Math．J．43(2003),579-585．

〔3〕R．Aghalary and G．H．Azadi．theDziok-Srivastava Operator and k-uniformly strlike functions[J]．Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics．Volume 6,Issue 2,Article 52,2005．

〔4〕J．Dziok,H．M．Srivastava,Classes of analytic functions associated with the generalized hypergeometric function[J]．Appl．Math．Comput．103(1999)1-13．

〔5〕J．Dziok,H．M．Srivastava,Some subclasses of analytic functions with fixed argument of coefficients associated with the generalized hypergeometric function[J]．Adv．Stud．Contemp．Math．5(2002)115-125．

〔6〕J．Dziok,H．M．Srivastava,Certain subclasses of analytic functions associated with the generalized hypergeometric function[J]．Integral Transform．Spec．Funct．14(2003)7-18．

〔7〕H．M．Srivastava,Some families of fractional derivative and other linear operators associated with analytic,univalent,and multivalent functions,in：Analysis and Its Applications (Chennai,2000),Allied Publishers Limited,New Delhi,Mumbai,Calcutta and Chennai,2001,pp．209-243．

〔8〕F．M．AL-Oboudi,On univalent functions defined by a generalized Sˇalˇagean operator[J]．Int．J．Math．Math．Sci．2004,no．25-28,1429-1436．

〔9〕C． Selvaraj and K． R． Karthikeyan, Differential Subordination and Superordination For Certain Subclasses of Analytic Functions[J]．Far East J．Math．Sci．29(2008),no．2,419-430．

〔10〕C．Selvaraj and K．R．Karthikeyan,Certain classes of analytic functions of complex order involving a family ofgeneralizeed differentialoperators[J]．Journalof mathematicalInequalities 2(2008),4：449-458．