一種基于CT，CZT和SVD的數字水印算法

井娥林，溫宏愿，竇如鳳，何偉基

（1.南京理工大學泰州科技學院，江蘇泰州225300；2.南京理工大學電子工程與光電技術學院，江蘇南京210094）

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一種基于CT，CZT和SVD的數字水印算法

井娥林1，溫宏愿1，竇如鳳1，何偉基2

（1.南京理工大學泰州科技學院，江蘇泰州225300；2.南京理工大學電子工程與光電技術學院，江蘇南京210094）

摘要：提出了一種基于CT-CZT-SVD的數字水印算法。該算法利用CZT變換算法的高頻窄帶分析能力和奇異值的穩定性對CT變換獲取的表示細節特征的圖像高頻分量進行混合處理。實驗表明，該算法通過提高頻率分辨率及頻譜銳化效果，能充分表達圖像的細節信息，有效提升了水印圖像的不可見性以及對常見的幾何攻擊、JPEG壓縮等水印攻擊的魯棒性。

關鍵詞：輪廓波變換；線性調頻z-變換；奇異值分解；魯棒性

一種新興起的數字安全技術——數字水印［1-4］技術，通常將具有一定意義的信息通過一定的方法在不損害被嵌入對象原有特性的前提下顯性或非顯性的嵌入到相關領域數字圖像、音頻、視頻或文本中，以便對相應的知識產權或傳遞的信息進行標識、保護、追蹤、鑒別等，它已成為信息安全領域新的研究熱點［5-7］。

數字水印嵌入算法主要包括兩類：空（時）域算法和變換域算法［1］。空域算法通常是通過修改像素值將水印信息嵌入到圖像中來實現［1，5］。R.G. van Schynde1［4］等人提出的最低有效位（1east sjgnjfjcant bjts，LSB）算法，Bender［6］等人提出的基于統計像素特征的Patchwork算法，都屬于空域算法［7］。該類算法魯棒性較差，易受各類攻擊。變換域算法通常是通過嵌入算法調節頻域系數擴展頻譜通信的方法來實現，具有嵌入水印信息量較大、透明性好、魯棒性強等特點［8］，常用的算法如離散余弦變換（DCT）、離散小波變換（DWT）、離散傅立葉變換（DFT）等。

基于DCT域變換算法［2-5］是將水印嵌入到圖像經DCT域變換后幅值最大的前k系數（不包括直流分量）上，通常為圖像的低頻分量。DCT域變換算法，對有損壓縮、低通濾波以及旋轉、平移等幾何攻擊具有較強的魯棒性，但對裁剪、椒鹽噪聲等抵抗能力較差［3-8］。而基于分塊DCT算法容易出現分塊效應，往往導致無法正確提取水印信息。又DCT算法反變換會因為DCT變換涉及符點數集變換而不能完全重構原始信號。基于DWT域變換算法通常［5-8］將水印嵌入到圖像經DWT域變換后的小波系數中。由于DWT變換具有良好的空間-頻率局部性、多尺度和多分辯率特性，經DWT變換后的圖像可以充分反映圖像的局部特征，對裁剪、低通濾波、壓縮、加噪等攻擊具有良好的魯棒性。但由于DWT域變換缺乏高頻細節方向性、平移不變性，常導致不能完全、準確反映圖像邊緣信息［9-10］。又DWT域水印算法同其它大多數小波域水印算法一樣對旋轉、尺度變換、反射等幾何類攻擊魯棒性不夠［8］。基于DFT域變換算法［1-8］具有平移、旋轉不變性及較豐富的細節信息等特性，對濾波、噪聲等攻擊具有較好的抵抗性。但DFT算法復雜度高、效率低，與相關的國際標準兼容性較差從而限制其的應用。

2002年M.N. Do和Martjn Vetter1j［11］提出了一種具有多分辨率、多方向、局域的、各向異性的輪廓波變換（Contour1ettransform，CT）。CT變換不僅具有小波的多分辯率和空間-頻率局部性，還具有很強的方向性與各向異性，因此CT變換可通過對表示方向性的圖像高頻成份的捕捉來更好的反映圖像邊緣信息，并對幾何攻擊具有更好的魯棒性，但平移不變性缺乏［7-9］。2001年Lju等［12］提出利用奇異值分解（sjngu1ar va1ue decomposjtjon，SVD）的方法將水印嵌入到圖像奇異值中。SVD嵌入算法是利用圖像奇異值的穩定性，即圖像受到輕微擾動，它的奇異值不會發生較大的改變，嵌入的水印具有較好的不可見性及對旋轉、放大、壓縮等幾何攻擊的魯棒性。1990年Takaya等將線性調頻z-變換（chjrp z-transform，CZT）算法用來實現圖像的重構。2013年Mary Agoyj等［7］將CZT算法用在數字水印中取得不錯的效果。CZT域變換具有可設定取樣點數、頻率分辨率的任意性等特性，適合用于高頻分析。通過CZT變換可顯著提高頻率分辨率及頻譜銳化效果［5］，因此這種算法嵌入的水印具有很強的不可見性和魯棒性。

文中提出一種基于CT，CZT和SVD的數字水印算法。該算法結合CT算法對表示空間細節的高頻分量的捕捉能力、CZT算法的高頻窄帶分析能力及奇異值的穩定性等優勢，能更好地表達圖像的細節特征，并能有效的提升水印不可見性及魯棒性。

1　相關知識

1.1CT變換

CT變換由Lap1acjan pyramjd（LP）和Djrectjona1 fj1ter bank（DFB）兩個濾波器組構成，因此也稱為金字塔形方向濾波器組（pyramjd djrectjona1 fj1ter bank，PDFB）。它具有更優的稀疏表示能力，性能優于小波變換［7-10］。CT變換通過LP分解步驟將圖像分解為逼近子帶和一系列不同尺度下的細節子帶來實現圖像多尺度、多分辨率分析，然后通過DFB對經過LP分解得到的圖像各帶通子帶進行方向分解來實現方向信息的獲取。圖1為CT變換示意圖。

圖1　CT變換示意圖

1.2CZT變換

CZT變換是一種用來計算Z平面上任意螺線采樣序列z-變換的算法。它定義如下：

已知數字序列X［n］（0≤n≤N-1）的z變換為：

令z的取樣點為zk=AW-k（k=0，1…M-1），其中M為要分析的頻域的點數，

A為采樣軌跡的起始點位置，由它的半徑A0及相角θ0確定。通常A0≤1，否則z0將處于單位圓|z|=1的外部。W為螺線參數，W0表示螺線的伸展率，W0＞1時，隨著k的增加螺線內縮，W0＜1則隨k的增加螺線外伸。φ0是采樣點間的角度間隔。由于輸入點數N、輸出點數M、φ0等可任意設定，可在任意螺線方向進行Z變換，可通過減小φ0來提高頻率分辨率，因此CZT變換適合用來分析具有任意起始頻率的高分辨率窄帶頻譜，并具有時間優越性。

1.3SVD

由于奇異值具有轉置、旋轉、位移、縮放及鏡像變換不變性等［12］，被引入到數字圖像處理中。基于奇異值分解的圖像水印算法穩定性好，對幾何攻擊魯棒性強。常用的方法有兩種：數字水印法和水印圖像法，文中采用水印圖像法。

2　CT-CZT-SVD水印算法方案

基于CT-CZT-SVD的水印算法，充分利用CT算法對表示空間細節的高頻分量的捕捉能力、CZT算法的高頻窄帶分析能力及奇異值的穩定性等優勢，有效地提升水印不可見性及魯棒性，具體步驟如下：

1）利用式（2）對載體圖像I進行CT變換得到低頻子帶LS和高頻子帶HS；

2）利用式（3）對步驟1得到的高頻子帶HS進行CZT變換得到I1；

3）利用SVD算法對CZT變換處理高頻子帶HS得到的I1進行奇異值分解，如式（4）；

4）利用SVD算法對水印圖像W進行奇異值分解，如式（5）；

5）將經過步驟4處理得到水印圖像奇異值S1乘以系數因子α后加載到經步驟3處理得到的載體圖像奇異值S上，然后利用式（6）進行奇異值分解逆變換得到I2；

6）利用式（7）對步驟5處理得到I2進行反CZT變換得到嵌入水印的高頻子帶HS1；

7）對步驟6處理得到高頻子帶HS1和步驟1處理得到低頻子帶LS進行反CT變換，得到嵌入水印后的圖像Iw，如式（8）。水印提取步驟是水印嵌入算法的逆過程。

3　實驗結果

本文分別采用512×512的Barbara、Peppers和Lena為載體圖像（圖2），256×256的二值圖像作為水印圖像（圖3）。運行環境為Pentjmum D 3.20 GHz，2 GB內存，Wjndows XP操作平臺，Mat1ab7.0。

圖2　512×512載體圖像

圖3　256×256二值水印圖像

實驗中首先對二值水印圖像進行預處理，然后采用本文提出的基于CT-CZT-SVD的水印嵌入算法方案對預處理后二值水印圖像進行嵌入處理得到嵌入水印后的圖像Iw，然后對Iw進行不可見性和魯棒性分析。

3.1不可見性

不可見性是嵌入水印圖像品質的重要特征，本文采用峰值信噪比（peak sjgna1 to nojse ratjo，PSNR）來客觀評價嵌入水印后圖像質量，計算公式如式（9）。

式中，M、N表示兩幅圖像大小（文中取M=N），D為信號的峰值255（8位圖像）。I（x，y）和Iw（x，y）分別為載體圖像和嵌入水印后的圖像。通常PSNR值（25～45 dB）越高，重建圖像品質就越好。本文提出的算法實驗結果如圖4所示。

圖4　不同算法PSNR

3.2魯棒性

魯棒性的好壞，通常用來衡量、判斷水印系統抵抗水印攻擊能力的強弱。本文采用結構相似性指標（structura1 sjmj1arjty，SSIM）來描述水印系統的魯棒性，計算公式如式（10）。

式中，通常c1= c2=0，μx、μy分別為x，y的平均值，σx、σy分別為x，y的標準偏差，為互相關系數。通常SSIM值（最大為1）越大，水印系統魯棒性越強。本文提出的算法水印攻擊實驗結果SSIM值指標如圖5所示。

圖5　不同算法水印攻擊SSIM

4　結論

本文提出的基于CT-CZT-SVD的水印算法利用CZT變換算法的高頻窄帶分析能力和奇異值的穩定性對CT變換獲取的表示細節特征的圖像高頻分量進行混合處理。實驗結果顯示，該算法通過提高頻率分辨率及頻譜銳化效果，能充分表達圖像的細節信息，有效提升了水印圖像的不可見性以及對常見的幾何攻擊、JPEG壓縮等水印攻擊的魯棒性。

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A dlgltal watermarklng algorlthm based on CT，CZT，and SVD

JING E-1jn1，WEN Hong-yuan1，DOU Ru-feng1，HE Wej-jj2
（1.Taizhou Institute of Science and Technology，National University of Science and Technology，Taizhou 225300，China；2.School of Electronic Engineering and Optoelectronic Technology，National University of Science and Technology，Nanjing 210094，China）

Abstract:We propose a djgjta1 watermarkjng a1gorjthm based on CT-CZT-SVD. The a1gorjthm uses the hjgh-frequencynarrow-band ana1ysjs capabj1jty of CZT and the stabj1jty of sjngu1ar va1ue to dea1 wjth the hjgh-frequency components of the jmage obtajned by the CT. The experjmenta1 resu1ts show that the proposed a1gorjthm can fu11y express the detaj1 jnformatjon of the jmage by jncreasjng frequency reso1utjon and spectra1 sharpenjng effect and effectjve1y enhance the jmperceptjbj1jty and robustness to common geometrjc attacks，JPEG compressjon and so on.

Key words:contour1et transform；chjrp z-transform；sjngu1ar va1ue decomposjtjon；robustness

中圖分類號：TN919.73

文獻標識碼：A

文章編號：1674-6236（2016）07-0171-04

收稿日期：2015-06-26稿件編號：201506225

基金項目：國家自然科學基金青年科學基金（61101196）；教育部高校博士點專項基金（20103219120016）；江蘇省企業博士集聚計劃（20110114）

作者簡介：井娥林（1977—），男，江蘇淮安人，碩士，講師。研究方向：數字圖像處理、電子系統理論與技術。