密度測定的數據處理方法分析

何述平

(西北師范大學教育學院物理教育研究所,甘肅 蘭州 730070)

密度測定是義務教育教科書物理(八年級上冊)的基本內容[1,2],作為探究性實驗,數據處理方法顯得尤為重要,現行教科書[1]僅給出了圖像法的m-V圖像,可否作V-m圖像?不少密度測定實驗方案均有先計算質量與體積的比值,再計算比值的平均值,即“后平均”法，如此運用平均法合理否?似乎測量次數較少時,運用“后平均”法;測量次數較多時,運用圖像法，難道數據處理方法與測量次數有關?本文就此進行相應的研究,以期明晰密度測定的合理數據處理方法.

1 數據處理方法的推證

圖像法、平均法均是物理實驗數據處理的基本方法,也是解決擬合(回歸)直線時方程數多于變量數的方法[3],據此推證密度測定數據處理的圖像法、平均法如下.

1.1 圖像法

依據密度概念有

(1)

分別選取體積V、質量m作為自變量,有以下兩種方式.

1.1.1 圖像法的方式Ⅰ

由式(1)得

m=ρV.

(2)

式(2)表明:m與V呈正比關系(同種物質,ρ為恒量).圖像法處理n組測量數據(Vi,mi),得m-V圖線為過原點(0,0)的直線,斜率為密度ρ.

1.1.2 圖像法的方式Ⅱ

由式(1)得

(3)

式(3)表明:V與m呈正比關系(同種物質,ρ為恒量).圖像法處理n組測量數據(mi,Vi),得V-m圖線為過原點(0,0)的直線,斜率的倒數為密度ρ.

1.2 平均法

依據物理實驗數據處理的平均法[3,4],n組測量數據代入式(2)或(3),得n組線性方程

mi=ρVi.

(4)

或

(5)

i=1,2,…,n(同種物質,ρ為恒量).式(4)、(5)分別求和,均可得

(6)

簡化式(6)有

(7)

2 數據處理方法的運用結果

取5個基本相同的市購似鋁規則圓柱體(直徑約1.0 cm,高約3.2 cm)為待測物,天平(JPT-5架盤天平:量程500 g,感量0.5 g)依次累積測質量,量筒(量程100 mL,最小分度1 mL)依次累積測體積,測量數據如表1[考慮了原點(0,0)為數據]，分別運用上述推證的密度測定數據處理方法,結果如下.

表1 鋁圓柱體的質量和體積數據

2.1 圖像法的結果

圖像法可分為作圖圖像法和回歸圖像法,此處運用回歸圖像法(即用現成的Excel程序)[5].

2.1.1 圖像法的方式Ⅰ的結果

由式(2)、表1數據得m-V圖像及其表達式,如圖1，得ρ=3.034 g/cm3.

圖1 m-V圖像

2.1.2 圖像法的方式Ⅱ的結果

由式(3)、表1數據得V-m圖像及其表達式,如圖2，進而得ρ=3.034 g/cm3.

圖2 V-m圖像

2.2 平均法的結果

由式(6)、表1數據得ρ=3.030 g/cm3.

上述密度測定數據處理方法的結果表明:圖像法的2種方式的結果相同,平均法的結果與圖像法的非常接近.

3 討論

3.1 圖像法的特點

由式(2)、(3)知,圖像法的2種方式的形式不同,但實質均為正比(線性)函數的圖像法,且具體是回歸圖像法(即最小二乘法).

3.2 運用“先平均”法的緣由

運用平均法處理密度測定數據的過程中可能會由式(4)的線性方程先求出n組ρi,然后再求平均,即所謂的“方程法”.如此運用平均法合理否?憑感覺,似乎合理，但與物理實驗間接測量數據處理算法抵觸.依據間接測量數據處理算法的“先平均”法與“后平均”法的討論[7]知:ρ(待測量,間接測量量)與m、V(直接測量量)有明確的函數關系[式(4)],ρ存在確定的實際值(同種物質,為恒量);且由式(4)的任一方程確定的ρi的波動性主要反映隨機誤差.因此,密度測定數據處理的算法采用“先平均”法(式(6)直接計算ρ值);而密度測定數據處理算法的“方程法”即“后平均”法明顯欠妥,且因兩次運算引入計算誤差.鑒于“先平均”法和“后平均”法各適用于兩類本質不同的問題，雖然“先平均”法與“后平均”法的數學運算結果對相當多的具體問題相差甚微,但也不宜混用[7].因此,密度測定的數據處理方法不應運用“后平均”法即“方程法”.

3.3 數據處理方法與測量次數無關

測量次數的多少與運用何種數據處理方法沒有直接關系,只是測量次數達到一定數量(一般≥6)時,才可有效地運用某種數據處理方法,因多次測量的目的是減小測量的隨機誤差.這是物理實驗的誤差理論所表明的.因此,認為數據處理方法與測量次數有關是一種片面化的誤解.

4 教學建議

基于上述密度測定數據處理方法的探究,建議在充分認識密度測定實驗的基礎上,合理設計適切初二物理實驗特點的教學過程(如多次測量),合理運用密度測定數據處理的圖像法、平均法(可先以一種為主,再拓展到另一種),勿使數據處理方法庸俗化,應達到簡約化.

實測結果與純鋁密度ρ鋁=2.702 g/cm3對照可知,待測物為鋁合金.建議盡可能選取常見純金屬材料物體(如鋁、銅),以便與教科書中密度表的物質密度值比較,進一步理解密度是由物質本身決定的屬性,即應合理選取待測物.

鑒于回歸圖像法是計算機技術的具體應用,且便捷、直觀;平均法簡潔明了(代數形式、代數運算).因此,圖像法、平均法可作為初二物理實驗教學的密度測定數據處理的基本方法(適用于液體密度測定).

1 義務教育教科書·物理(八年級上冊)[M].北京:人民教育出版社,2012： 113-114.

2 義務教育教科書·物理(八年級上冊)[M].北京:北京師范大學出版社，2012： 49-51.

3 龔鎮雄.普通物理實驗中的數據處理[M].西安:西北電訊工程學院出版社,1985： 132,124-130.

4 何述平.平均法處理測電源電動勢和內阻數據的研究[J].物理實驗,2013,33(6): 16-19.

5 何述平.圖像法處理打點紙帶的研究[J].物理教師,2013,34(1): 57-60.

6 朱鶴年.新概念物理實驗測量引論:數據分析與不確定度評定基礎[M].北京:高等教育出版社,2007： 18.

7 朱鶴年.物理實驗研究[M].北京:清華大學出版社,1994： 106-112.