基于解題習慣和思維方法進階下的習題課變式教學
——以“桿球連接體”為例

卞志榮

(江蘇省天一中學,江蘇 無錫 214101)

自從2013年江蘇高考考試說明將“不要求定量求解加速度大小不同的連接體問題”改為“加速度大小不同的連接體問題的計算僅限于兩個物體的情況”和“運動的合成與分解”變為Ⅱ要求后,全省各地高三復習和模考試卷中“桿球連接體”問題頻頻出現,大多以選擇題的壓軸題出現,統計表明此類問題正確率非常低. 筆者對作答試卷進行了統計分析并多次與學生進行交流得知其中奧妙,客觀上來說“桿球連接體”的疑難在于“桿”:第一,桿的彈力可能沿桿,也可能不沿著桿;第二,桿的彈力可能做功,也可能不做功;第三,桿所連接的兩物體的線速度、角速度和加速度相關聯且大小可能相同,也可能不同;第四,“桿球連接體”的運動多為非勻變速運動,與功、能量轉化和守恒緊密聯系;第五,研究對象和研究過程較多,對分析問題和綜合應用能力要求比較高.除此而外,學生的心理素質、解題習慣和方法的遷移甚至包括教師習題講評的方法都嚴重影響了學生正確作答進程.例如有學生說:一見到這類問題,心理急劇變化,有點發慌,顯得不耐煩,甚至想放棄;解選擇題就是“跟著感覺走”一看“大概”“差不多”就行;解題時基本上不畫受力圖,不進行運動過程分析,那樣太煩,時間也來不及;好多教師都這樣說,難的選擇題就選一個答案,甚至可以放棄;教師講評時只講怎么解,從來不講為什么這么想,造成我們聽聽都懂,做做都不會等.基于上述原因,筆者認為高三復習時仍然要注重學生解題習慣的養成和思維方法的形成,通過變式教學進行方法的提煉,而不是追逐題量,講評時應重點放在怎么分析而不是怎么解答.筆者就“桿球連接體”問題的變式教學做一點探索,供大家參考.

1 球在斜面與平面上自由滑動

圖1

例題1.如圖1所示,在傾角θ=30°的光滑固定斜面上,放有兩個質量分別為1 kg和2 kg的可視為質點的小球A和B,兩球之間用一根長L=0.2 m的輕桿相連,小球B距水平面的高度h=0.1 m.兩球從靜止開始下滑到光滑地面上,不計球與地面碰撞時的機械能損失,g取10 m/s2.則下列說法中正確的是

(A) 下滑的整個過程中A球機械能守恒.

(B) 下滑的整個過程中兩球組成的系統機械能守恒.

(C) 兩球在光滑水平面上運動時的速度大小為2 m/s.

(D) 系統下滑的整個過程中B球機械能的增加量為2/3 J.

引導分析:此題學生比較容易想到從能量角度來分析,但讓學生講又說不清,道不明,此時教師的智慧在于提出系列驅動性問題,引導學生積極思考并自主進行方法突破,同時滲透解題習慣的培養.

問題1. 小球A和B都在光滑斜面上下滑的過程中,A球機械能守恒嗎?

問題2. 小球A和B都在光滑水平地面上滑動的過程中,A球機械能守恒嗎?

問題3. 下滑的整個過程中A球機械能守恒嗎?

問題4. 小球A和B從靜止開始一起下滑到水平面的過程中機械能守恒嗎?

圖2

討論結果:A、B兩球都在光滑斜面或水平面上滑動的過程,可以用假設法判斷桿中彈力為0,A球機械能守恒,若A球在斜面上下滑,B球在水平地面上滑動的過程中,桿的彈力不為0,且桿的彈力對A球做負功、對B球做正功,故單獨對A或B來說,此過程機械能不守恒.判斷方法等同于圖2所示的常規題中輕桿對A、B球的做功情況,結論如出一轍,都是桿對下面的球做正功.

解題指導:第一,力學選擇題的作答同樣需要受力分析和運動過程分析,這是一種習慣,切不可跟著感覺來個“大概”“差不多”;第二,對平時所學思維方法如本題中的“假設法”“類比法”“整體法”等要善于歸納總結,做到準確遷移,靈活應用,再難的問題也會迎刃而解,技高才能膽大.

2 球被限制在豎直軌道上運動

圖3

例題2.如圖3所示,滑塊A、B的質量均為m,A套在固定豎直桿上,A、B通過轉軸用長度為L的剛性輕桿連接,B放在水平面上并靠著豎直桿,A、B均靜止.由于微小的擾動,B開始沿水平面向右運動.不計一切摩擦,滑塊A、B可視為質點.在A下滑的過程中,下列說法中正確的是

(A)A、B組成的系統機械能守恒.

(B) 在A落地之前輕桿對B一直做正功.

(D)當A的機械能最小時,B對水平面的壓力大小為mg.

圖4

變式.如圖4所示,A、B兩小球用輕桿連接,豎直放置．由于微小的擾動,A球沿豎直光滑槽運動,B球沿水平光滑槽運動.則在A球到達底端前

(A)A球做勻加速直線運動.

(B) 輕桿對A球做負功,對B球做正功.

(C)A球到達豎直槽底部時B球的速度為0.

(D)A球的機械能最小時輕桿對B球的作用力為0.

3 球被限制在光滑圓形軌道上運動

圖5

例題3.如圖5所示,半徑為R的光滑圓環固定在豎直平面內,O是圓心,虛線OC水平,D是圓環最低點.兩個質量均為m的小球A、B套在圓環上,兩球之間用輕桿相連,從圖示位置由靜止釋放,則

(A)B球運動至最低點D時,A、B系統重力勢能最小.

(B)A、B系統在運動過程中機械能守恒.

(C)A球從C點運動至D點過程中受到的合外力做正功.

(D) 當桿水平時,A、B球速度達到最大.

分析:對(A)選項的判斷可以用極值法:重力勢能的大小就看重心位置的高低,當桿子處于水平時,A、B系統重心最低,兩者的重力勢能最小,故(A)選項錯誤;對(B)選項的判斷可以用整體法:以A、B整體為研究對象,桿對A、B的作用力是內力,環對球的彈力始終不做功,只有重力做功,所以A、B系統在運動過程中機械能守恒,故(B)選項正確;當A運動到B開始的位置即桿處于水平時,系統重力勢能最小,動能最大,所以球A由C運動到D的過程中,動能先增大后減小,以A球為研究對象,由動能定理可知,合外力對其先做正功后做負功,且正負功數值相等,故(C)選項錯誤;由(A)選項和(B)選項可知(D)選項正確.

4 球限制在直線與圓形組合軌道上運動

圖6

例題4.光滑的長軌道形狀如圖6所示,其底部為半圓形,半徑為R,固定在豎直平面內.A、B為兩質量相同的小環,用長為R的輕桿連接在一起,套在軌道上.將A、B兩環從圖示位置靜止釋放,A環與底部相距2R.不考慮輕桿和軌道的接觸,即忽略系統機械能的損失.

(1) 求A、B兩環都未進入半圓形軌道前,桿上的作用力;

(2)A環到達最低點時,兩環的速度大小分別為多少?

(3) 在A環下滑至軌道最低點的過程中時,桿對B所做的功WB.

分析:這一道題實質上是桿球在豎直軌道和圓形軌道上運動的組合題;當B環在豎直軌道上而A環在圓軌道上運動過程則等同于圖1中一球在斜面上,一球在水平面上運動的問題.有了這樣的認識和前面幾個問題的討論,即使像本例這樣的難題也不成為問題.

具體分析如下: (1) 兩環都未進入半圓形軌道前可通過假設法分析桿上作用力.假設桿有作用力,不管方向如何,可以得到A、B環的加速度不同,故假設錯誤,也就是桿上的作用力為0.

圖7

(2) 當A環到達軌道最低點時,B環也已進入半圓軌道(如圖7所示),關鍵是能分析出此時A、B環的速度大小相等:因為在圓環里桿繞圓心做圓周運動,同一時刻桿上每一點的角速度相同,桿兩端的圓周運動半徑又相同,根據v=ωr,可知vA=vB,設為v,由機械能守恒定律得

解得

(3) 此問研究過程已經確定,以B環為研究對象,當A環從起始位置到A環下滑至軌道最低點的過程中,B受重力、桿的彈力及圓軌道的支持力,支持力不做功,由動能定理得

分析:這是一道臨界問題,當A環“上升到最大高度時環的速度為0”這一臨界條件都是知道的.可是此位置在哪里是學生的難點所在,為了使學生能自主突破,可以引導學生思考以下兩個問題:

(1) 圓弧中最長弦是多少?它與桿的長度比較誰長?

(2) 畫出桿球運動過程中幾個典型的位置圖.

圖8

圖9

5 轉動的桿球倚靠在光滑立方體上運動

例題5.如圖10所示,在光滑的水平地面上有一個表面光滑的立方體M,一輕桿L與水平地面成α角,輕桿的下端用光滑鉸鏈連接于O點,O點固定于地面上,輕桿的上端連接著一個小球m,小球靠在立方體左側,立方體右側受到水平向左推力F的作用,整個裝置處于靜止狀態.若現在撤去水平推力F,則下列說法中正確的是

圖10

(A) 在小球和立方體分離前,若輕桿L與水平地面成β角,小球的速度大小為v1,立方體的速度大小為v2,則有v1=v2sinβ.

(B) 小球在落地的瞬間和立方體分離.

(C) 小球和立方體分離時小球只受重力.

(D) 小球和立方體分離前小球的機械能不守恒.

圖11

分析:小球繞O做圓周運動,速度垂直于棒,其兩個分運動是:隨著立方體向右運動的同時沿著立方體豎直向下運動,將小球的速度沿著水平方向和豎直方向正交分解(如圖11),得到v2=v1sinβ,故(A)選項錯誤;對于(B)、(C)、(D)選項的判斷,關鍵是小球與立方體何時分離,這是學生感到棘手的問題,其實方法很多,比如特殊位置法、極限分析法、臨界值法.

特殊位置法:以球為研究對象,開始靜止,球在水平方向速度當然為0,當桿落地時球水平速度為0,可知球在水平方向先加速后減速,桿對球的作用是先撐后拉,先做正功后做負功,分離點即為轉折點,此時桿的彈力為0.可見分離點應在小球落地前,故(B)選項錯誤, (D)選項正確.

對于(C)選項,可以用臨界值法:兩接觸物體剛分離時彈力為0.由立方體受力可知,其加速度必為0,則小球剛分離時加速度的水平分量也為0,則桿的彈力必為0,故小球只受重力,(C)選項正確.所以本題應選(C)、(D).

圖12

變式.在光滑的水平面上放一質量為M、邊長為b的立方體木塊,木塊上擱有一根長L的輕質桿,桿端固定一質量為m的均質小球,另一端鉸接于O如圖12所示,設桿從與水平面間夾角α1無初速度地推動木塊右滑,求桿與水平面間夾角變為α2(α1>α2) 時木塊的速度.

6 桿球限制在電場中平直光滑槽上運動

圖13

例題6.如圖13所示,沿水平方向放置一條平直光滑槽,它垂直穿過開有小孔的兩平行薄板,板相距3.5L.槽內有兩個質量均為m的小球A和B,球A帶電荷量為+2q,球B帶電荷量為-3q,兩球由長為2L的輕桿相連,組成一帶電系統.最初A和B分別靜止于左板的兩側,離板的距離均為L.若視小球為質點,不計輕桿的質量,在兩板間加上與槽平行向右的勻強電場E后(設槽和輕桿由特殊絕緣材料制成,不影響電場的分布),求:

(1) 球B剛進入電場時,帶電系統的速度大小.

(2) 帶電系統從開始運動到速度第一次為0所需時間及球A相對右板的位置.

實際上,桿球連接體的題目遠不止上述幾道,但從以上幾道題目的分析求解應該領略到,解決復雜問題不是無道可尋,也不是高不可攀,關鍵是分析問題的習慣和科學思維方法的應用.對力學題目必須養成受力分析和運動過程分析的良好習慣;靈活運用如整體隔離法、臨界值法、特殊位置法,極限分析法等常用研究方法,巧妙利用物體間的速度關聯、加速度關聯、位移關聯等是技巧,問題的順利破解將不成問題.研究解決這類問題對提高分析問題和解決問題的能力,對思維方法的訓練很有幫助.我們在高考復習時切不可陷入題海,應該在夯實基礎,提煉方法,發展能力上做文章才是根本,否則只能是事倍功半的低效復習.