Welch功率譜估計(jì)中窗函數(shù)的選擇與算法分析

邢曉晴+朱根民

摘 要： 以Matlab為平臺(tái)對(duì)Welch算法中窗函數(shù)的選擇與使用進(jìn)行了分析。從頻譜分辨率、噪聲水平等方面對(duì)窗函數(shù)特性進(jìn)行分析，其中矩形窗與凱撒窗頻譜分辨率較高，但信號(hào)頻率附近噪聲水平較高。分析認(rèn)為矩形窗與凱撒窗適用于高信號(hào)信噪比的高精度頻譜估計(jì)。漢寧窗與切比雪夫窗對(duì)頻譜泄漏抑制效果較好，信號(hào)頻率附近噪聲水平未受影響，但其分辨率相對(duì)較低。分析認(rèn)為漢寧窗與切比雪夫窗適用于信噪比較低的信號(hào)頻率的大致估計(jì)。Welch功率譜估計(jì)算法針對(duì)短信號(hào)使用的研究認(rèn)為，直接對(duì)短信號(hào)進(jìn)行Welch功率譜估計(jì)不僅頻譜分辨率低，信號(hào)也容易被噪聲干擾導(dǎo)致探測(cè)失敗。短信號(hào)功率譜的估計(jì)無(wú)法直接通過Welch功率譜估計(jì)法來實(shí)現(xiàn)。

關(guān)鍵詞： Welch功率譜估計(jì)； 窗函數(shù)； 頻譜分辨率； 頻譜泄漏； 信噪比

中圖分類號(hào)：TP391.9 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1006-8228（2018）02-01-03

Abstract： The selection and use of window function in Welch algorithm are analyzed with Matlab as the platform. The characteristics of window function are analyzed from spectrum resolution and noise level. The spectral resolution of Rectangular window and Kaiser window is higher， but the noise level near the signal frequency is higher. It is considered that Rectangular window and Kaiser window are suitable for high precision spectrum estimation of signals with high signal to noise ratio. Hanning window and Chebyshev window have better effect on spectrum leakage suppression， and the noise level near the signal frequency is not affected， but the frequency resolution is relatively low， suitable for general frequency estimation of signals with low signal to noise ratio. The study of using Welch algorithm in frequency estimation of short signals shows that it is not only the low spectrum resolution， but also the signal is easily disturbed by the noise， which leads to the failure of the detection.

Key words： Welch power spectrum estimation； window function； spectral resolution； spectrum leakage； signal to noise ratio

0 引言

功率譜估計(jì)技術(shù)是通過信號(hào)的相關(guān)性，對(duì)接收信號(hào)功率隨頻率的變化關(guān)系進(jìn)行估計(jì)的一種頻譜估計(jì)方法，其基本功能是實(shí)現(xiàn)寬帶噪聲中窄帶信號(hào)的檢測(cè)。功率譜估計(jì)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的分析與識(shí)別。周期圖法利用相關(guān)函數(shù)與傅里葉變換的卷積關(guān)系求功率譜，由于周期圖法不滿足一致性估計(jì)條件，分辨率與方差難以同時(shí)取得較高的參數(shù)。Welch算法是在周期圖法基礎(chǔ)上進(jìn)行修正的一種比較簡(jiǎn)單，便于計(jì)算的方法。通過對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分段和加窗，可以在保證分辨率不受影響的前提下盡量減小譜估計(jì)的方差。在算法應(yīng)用中，窗函數(shù)的選擇將直接影響譜估計(jì)的結(jié)果。

1 周期圖及Welch算法

1.1 周期圖法

周期圖法是將觀測(cè)得到的有限個(gè)樣本數(shù)據(jù)x（n）={x（0），x（1），…，x（N-1）}視為能量有限信號(hào)，利用FFT直接計(jì)算出其傅里葉變換，然后取其復(fù)制的平方并除以數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N，作為功率譜估計(jì)：

⑴

其中X（k）為有限長(zhǎng)序列x（n）（n=0，1，……，N-1）的傅里葉變換。

通過周期圖法對(duì)信號(hào)進(jìn)行功率譜估計(jì)的流程如圖1[1]。

周期圖法的優(yōu)點(diǎn)是不需要進(jìn)行自相關(guān)運(yùn)算，算法較為簡(jiǎn)單。但周期圖法最大的缺點(diǎn)就是其估計(jì)的方差不會(huì)隨著數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的增加趨近于零，即當(dāng)信號(hào)長(zhǎng)度一定時(shí)，無(wú)法在保證較高譜分辨率的情況下，盡量減小方差，因此周期圖法不是一致估計(jì)[2]。

1.2 Welch算法

Welch算法是對(duì)周期圖法的一種改進(jìn)，其具體流程為首先對(duì)信號(hào)進(jìn)行分段加窗處理，求出各段功率譜后求平均功率譜[3]。如圖2所示。

由概率統(tǒng)計(jì)理論可以證明，將長(zhǎng)度為N的數(shù)據(jù)分成K段，每段長(zhǎng)度M=N/K。若各段數(shù)據(jù)相互獨(dú)立，則估計(jì)方差為原方差的1/K，可以實(shí)現(xiàn)一致性估計(jì)。但增加K時(shí)必然導(dǎo)致M減小，M減小直接導(dǎo)致頻譜分辨率下降。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，需兼顧方差與分辨率選取K和M的值。

為了減小由于數(shù)據(jù)分段引起的分辨率降低的問題，可以在截取數(shù)據(jù)時(shí)允許各段數(shù)據(jù)有部分重疊。同時(shí)，針對(duì)不同類型的信號(hào)，選取合適的窗函數(shù)也將直接影響結(jié)果的準(zhǔn)確性。因此，對(duì)窗函數(shù)特性的研究顯得很重要。endprint

2 Welch功率譜估計(jì)的仿真實(shí)現(xiàn)與分析

2.1 Welch功率譜估計(jì)仿真流程

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)Welch功率譜估計(jì)法的性能分析，選取Matlab作為仿真工具，編程實(shí)現(xiàn)的流程如下[4-5]：

⑴ 產(chǎn)生待探測(cè)信號(hào)x（t），設(shè)定該信號(hào)的頻率成分、信噪比；

⑵ 按要求對(duì)x（t）采樣（需滿足采樣定理）與截取，得到有限長(zhǎng)觀測(cè)序列x[n]；

⑶ 設(shè)定Welch功率譜估計(jì)相關(guān)參數(shù)，包括FFT點(diǎn)數(shù)、數(shù)據(jù)重疊長(zhǎng)度等；

⑷ 對(duì)各段數(shù)據(jù)進(jìn)行加窗處理；

⑸ 對(duì)各段數(shù)據(jù)進(jìn)行功率譜計(jì)算，再將各段結(jié)果進(jìn)行平均，得到估計(jì)的信號(hào)功率譜。

2.2 Welch功率譜估計(jì)中窗函數(shù)的選擇分析

本次仿真實(shí)驗(yàn)中，產(chǎn)生信號(hào)f（t）=sin（2π×300t）+sin（2π×500t）作為輸入信號(hào)。信號(hào)中的噪聲為加性高斯白噪聲，信噪比為10dB，采樣頻率為3000Hz。信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)為3000，數(shù)據(jù)分段不重疊，F(xiàn)FT點(diǎn)數(shù)為512，選取窗函數(shù)長(zhǎng)度為511的矩形窗（Rectangular）、切比雪夫窗（Chebyshev）、漢寧窗（Hanning）、凱瑟窗（Kaiser）分別對(duì)信號(hào)進(jìn)行Welch功率譜估計(jì)，得到的結(jié)果如圖3所示，針對(duì)各窗函數(shù)的頻譜分析結(jié)果如表1。

結(jié)合圖3與表1對(duì)四種窗函數(shù)進(jìn)行特性分析。在其他條件一致的情況下，Rectangular窗的頻譜分辨率最高，主瓣寬度最窄，頻譜估計(jì)誤差最小。但是Rectangular窗對(duì)信號(hào)的突然截?cái)鄷?huì)造成信號(hào)頻譜泄露，使信號(hào)頻率附近噪聲幅值大幅度提高，噪聲整體水平較高。本次實(shí)驗(yàn)中信號(hào)頻率附近噪聲功率平均提高6dB。因此，當(dāng)信號(hào)信噪比較低時(shí)，Rectangular窗無(wú)法有效準(zhǔn)確識(shí)別出信號(hào)頻率。Kaiser窗的頻譜分辨率較高，明顯高于Chebyshev窗與Hanning窗。Kaiser窗在信號(hào)頻率附近噪聲水平較高，本次實(shí)驗(yàn)中信號(hào)頻率附近噪聲功率平均提高3.6dB。因此Kaiser窗適合對(duì)信號(hào)分辨率要求較高并且信號(hào)信噪比較高的情況。Chebyshev窗與Hanning窗的旁瓣衰減較大，因此噪聲水平較低且平穩(wěn)，本次實(shí)驗(yàn)中，信號(hào)頻率附近的噪聲功率無(wú)明顯提高。其中Hanning窗的噪聲水平相比Chebyshev窗要更低些。但是Chebyshev窗與Hanning窗的分辨率相比，Rectangular窗和Kaiser窗有所下降，因此更適用于對(duì)信號(hào)分辨率要求不高的微弱信號(hào)頻譜估計(jì)的情況。在選取窗函數(shù)對(duì)信號(hào)頻譜進(jìn)行估計(jì)時(shí)，需對(duì)信號(hào)特性進(jìn)行充分分析，結(jié)合頻譜估計(jì)需求，進(jìn)行窗函數(shù)的選取。

2.3 短信號(hào)的Welch功率譜分析

在實(shí)際情況中，有些信號(hào)僅存在較短時(shí)間，有些信號(hào)變化速率較快。為了精準(zhǔn)測(cè)量這些信號(hào)，只能截取較短時(shí)間的信號(hào)進(jìn)行頻譜分析。在對(duì)短信號(hào)的頻譜估計(jì)中，Welch頻譜估計(jì)法具有一定的局限性。依舊選取頻率為300Hz和500Hz的正弦信號(hào)f（t）=sin（2π×300t）+sin（2π×500t）作為輸入信號(hào)。信號(hào)中的噪聲為加性高斯白噪聲，信噪比為10dB，采樣頻率為3000Hz。短信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)為100，數(shù)據(jù)分段不重疊，F(xiàn)FT點(diǎn)數(shù)為512，選取窗函數(shù)長(zhǎng)度為511的矩形窗（Rectangular）、切比雪夫窗（Chebyshev）、漢寧窗（Hanning）、凱瑟窗（Kaiser）分別對(duì)信號(hào)進(jìn)行Welch功率譜估計(jì)，得到的結(jié)果如圖4所示。

由于短信號(hào)頻譜噪聲方差較大，故不針對(duì)短信號(hào)的頻譜進(jìn)行定量計(jì)算。由圖3與圖4對(duì)比可知，對(duì)短數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜估計(jì)得到的信號(hào)譜峰寬度增加，頻譜分辨率明顯下降。此時(shí)，采用Chebyshev窗和Hanning窗得到頻譜的信號(hào)譜峰較寬，無(wú)法獲得信號(hào)頻率。采用Rectangular窗與Kaiser窗得到的信號(hào)譜峰也有明顯加寬，同時(shí)噪聲處頻譜震蕩較為劇烈。因此，當(dāng)信號(hào)較微弱時(shí)，可能被噪聲淹沒導(dǎo)致探測(cè)失敗。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文通過Matlab對(duì)四種窗函數(shù)應(yīng)用于Welch功率譜估計(jì)的結(jié)果特性進(jìn)行研究。結(jié)果表明使用矩形窗與凱撒窗得到的信號(hào)頻譜具有較高的分辨率，比漢寧窗和切比雪夫窗高出一倍左右。但頻譜泄漏造成的信號(hào)頻率附近噪聲水平整體較高，在矩形窗條件下，噪聲功率提高為6dB，凱撒窗條件下為3.6dB。因此，矩形窗與凱撒窗適用于信噪比較高信號(hào)的高精度頻譜估計(jì)。使用漢寧窗與切比雪夫窗進(jìn)行Welch頻譜估計(jì)，信號(hào)頻率附近噪聲水平未受影響，但是得到的信號(hào)頻譜分辨率較低，適用于微弱信號(hào)頻率的粗略估計(jì)。未經(jīng)處理的短信號(hào)直接進(jìn)行Welch功率譜估計(jì)，得到的頻譜分辨率較低，同時(shí)信號(hào)也容易被噪聲干擾，導(dǎo)致探測(cè)失敗。微弱信號(hào)的功率譜估計(jì)方法仍需進(jìn)一步展開研究。

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