合作交流靈動(dòng)課堂

顧燕菊

多元變量求最值是模擬卷中及歷年高考命題中的熱點(diǎn)問(wèn)題，因其變量多、技巧性強(qiáng)、難度大、方法多、綜合能力要求較高，難以打開思路，學(xué)生普遍感覺棘手，大多是費(fèi)盡周折，難以找到解題的思路和切入點(diǎn)，所以每次遇到學(xué)生都比較害怕。“多元變量的最值問(wèn)題”要求學(xué)生能熟練利用基本不等式及其變形形式等知識(shí)來(lái)解決，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高。為此這節(jié)課通過(guò)小組合作、自主探究、展示交流，發(fā)展學(xué)生的思維，把課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生在探究中消除恐懼，在合作中提升思維，在交流展示中提升自信。在教學(xué)過(guò)程中充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性，挖掘?qū)W生的潛能，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣，在這樣的氛圍中學(xué)生能更多地掌握數(shù)學(xué)思想和方法，真正地愛上數(shù)學(xué)。

基于此，設(shè)置本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

1.課前學(xué)生完成活動(dòng)導(dǎo)學(xué)單的熱身訓(xùn)練，完成小組間的交流，探討求最值的常用方法，總結(jié)多元變量最值（范圍）的一些常用方法。

2.對(duì)近階段的題進(jìn)行回顧，對(duì)原題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪剑瑢?duì)一類題能夠得到系統(tǒng)的理解，對(duì)多元變量最值進(jìn)行探索，凸顯高考的重點(diǎn)，能根據(jù)題目特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>

3.通過(guò)多元變量最值的研究，感受數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的習(xí)慣。

活動(dòng)一：完成熱身訓(xùn)練，總結(jié)求多元變量最值的常用方法

1.已知正數(shù)a，b滿足2a+b=1，則4a2+b2的最小值為

設(shè)計(jì)意圖：本題的最小值既可以通過(guò)消元來(lái)完成，也可以通過(guò)配成已知條件的形式用基本不等式來(lái)解決，在消元過(guò)程中強(qiáng)調(diào)范圍意識(shí)，在基本不等式過(guò)程中強(qiáng)調(diào)基本不等式的完整性，特別是等號(hào)成立的條件。

2.已知x2+y2=1，則x+y的最大值為

設(shè)計(jì)意圖：本題相對(duì)比較簡(jiǎn)單，三角換元和線性規(guī)劃學(xué)生比較容易想到，已知條件是二次的形式，也可以令z=x+y，變形得y=-x+z，回代得到4x2-2zx+z2-1=0用“？駐”法解決。

3.已知m，n均為實(shí)數(shù)，則（m-n）2+（m-Inn）2的最小值為____

設(shè)計(jì)意圖：在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，重視式子結(jié)構(gòu)特征的分析與把握，探究式子的幾何意義，把抽象的代數(shù)式與直觀的幾何圖形結(jié)合起來(lái)，換一個(gè)角度審視問(wèn)題，從而找到解決問(wèn)題的突破口。

4.已知a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值為______

設(shè)計(jì)意圖：上面三個(gè)總結(jié)了二元變量求最值的常用方法，從二元擴(kuò)展到三元，將思想方法進(jìn)行遷移，本題的解法多樣化。消元后可利用方程思想，用“？駐”法，也可進(jìn)行三角代換。強(qiáng)調(diào)三元的處理模式一般對(duì)三元的進(jìn)行減元，再用二元的方法去處理。

熱身訓(xùn)練設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課前熱身訓(xùn)練、小組探究、展示交流，讓學(xué)生復(fù)習(xí)總結(jié)多元變量求最值的常用方法：（1）消元（注意自變量的取值范圍）；（2）基本不等式（注意完整性，特別是等號(hào)取到的條件）；（3）換元；（4）“？駐”；（5）幾何意義。對(duì)于三元變量的最值一般減元處理。對(duì)于熱身訓(xùn)練的這些題，難度適中，便于學(xué)生展開思考；一題多解，對(duì)二元最值問(wèn)題的一個(gè)拓展與延伸，讓學(xué)生掌握基本思想方法的同時(shí)發(fā)散學(xué)生的思維，變量由二元變成了三元，難度加大的同時(shí)，也讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有新的認(rèn)識(shí)和嘗試，有利于培養(yǎng)學(xué)生分析與解決問(wèn)題的能力。由小組派學(xué)生講解小組的解法，由其他小組進(jìn)行質(zhì)疑和補(bǔ)充，充分發(fā)揮學(xué)生課堂主動(dòng)性，老師在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候總結(jié)歸納，培養(yǎng)學(xué)生自主探究、合作交流的能力，在交流中得到自信，在課堂中得到快樂(lè)。

活動(dòng)二：典型例題

處于高三的沖刺階段，所以活動(dòng)二中的題都是比較典型的題目，啟發(fā)學(xué)生在練習(xí)中多思考，達(dá)到做一題、會(huì)一類、通一片的目的，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的發(fā)散思維能力。

1.已知正數(shù)x，y滿足x+y=1，求+的最小值。

解：+=（+）（x+y）=9++≥9+4

當(dāng)且僅當(dāng)=，即x=，y=時(shí)取等號(hào)。

設(shè)計(jì)意圖：最基本的題目，“1”的妙用，做到人人都會(huì)。基本不等式是解決幾個(gè)正數(shù)之和與積互相轉(zhuǎn)化的依據(jù)，特別是在求最值時(shí)，一定要緊扣“一正二定三相等”三個(gè)條件。

變式1：已知實(shí)數(shù)x，y滿足x>y>0且x+y=1，求+的最小值。

解：令x+3y=s，x-y=t，得s+t=2，=1

∴+=+=（+）（s+t）=（3++）≥+

當(dāng)且僅當(dāng)=，即s=4-2，t=2-2時(shí)取等號(hào)。

設(shè)計(jì)意圖：變式1帶有一定的技巧性，通過(guò)觀察分母的形式得到和為定值，通常把分母看成一個(gè)整體進(jìn)行換元，回歸到“1”的妙用。

變式2：已知正數(shù)x，y，滿足x+y=1，求+的最小值

解：法1：消元：y=1-x>0，x∈（0，1），∴+=+，令f（x）=+，f′（x）=-2，令f′（x）=0，得x=，x∈（0，），f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減，x∈（，1），f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增

∴x=時(shí)，+的最小值為8

法2：+====-

x+y=1≥2，xy≤，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號(hào)

=t∈[4，+∞），∴原式=t2-2t=f（t），∴當(dāng)t=4時(shí)，f（t）的最小值為8

法3：+=（+）（x+y）2=1+++++1≥8

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號(hào)。

設(shè)計(jì)意圖：發(fā)散學(xué)生思維，體驗(yàn)多元變量的一題多解，適當(dāng)歸納。也從題中強(qiáng)調(diào)細(xì)節(jié)，方法1的變量的取值范圍，方法3的兩次用基本不等式，強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn)取等號(hào)的條件是否一致。

2.已知a，b為正實(shí)數(shù)，且（a-b）2=4（ab）3，則+的最小值為_____

法1：從結(jié)論出發(fā)：+=

（a-b）2=（a+b）2-4ab=4（ab）3，∴（a+b）2=4（ab）3+4ab

（+）2=（）2==4ab+≥8

當(dāng)且僅當(dāng)ab=1時(shí)，即a=1+，b=-1時(shí)取等號(hào)。

法2：構(gòu)建齊次：（a-b）2=a2-2ab+b2=4a3b3，∴-+=4ab

∴（-）2=（+）2-=4ab，∴（+）2=4ab+≥8

當(dāng)且僅當(dāng)ab=1，即a=1+，b=-1時(shí)取等號(hào)。

設(shè)計(jì)意圖：蘇錫常鎮(zhèn)二模的題，回顧做法，增強(qiáng)信心。法1從結(jié)論出發(fā)，根據(jù)結(jié)論要的a+b和ab的形式從題目中構(gòu)建，非常完美地用了基本不等式；法2通過(guò)齊次化配方構(gòu)造后用一次基本不等式。本題已經(jīng)處于一張?jiān)嚲淼淖詈笠粋€(gè)填空題，在學(xué)生的交流展示中得到自信是關(guān)鍵。

3.若正數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，則+的最小值為

法1：∵2b=a+c，∴a=2b-c，∴+=+=+

令=t（t>0），得原式=+=

f′（t）=令f′（t）=0，得t=4±

t∈（0，4+），f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減

t∈（4+，+∞），f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增∴t=4+時(shí)，

f（t）取得最大值

法2：∵2b=a+c，∴a=2b-c，∴+=+

令5b-2c=s，2b+c=t，即b=，c=-

∴原式=+=+≥，當(dāng)且僅當(dāng)s=t時(shí)取等號(hào)。

設(shè)計(jì)意圖：減元是突破這類題型的關(guān)鍵，聯(lián)系前面二元最值的基本解題策略，將思想方法進(jìn)行遷移。變?yōu)槎兞康淖钪岛螅瑢W(xué)生容易看出可通過(guò)齊次來(lái)解決，分母上是多項(xiàng)式，也可把分母看成一個(gè)整體來(lái)解決，三元變量的處理給學(xué)生以更開闊的視野，有利于學(xué)生較系統(tǒng)全面地認(rèn)識(shí)并掌握解題過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。總的來(lái)說(shuō)，上述三個(gè)例題，以典型例題為引，推動(dòng)學(xué)生感悟理解數(shù)學(xué)知識(shí)，理清知識(shí)與思想方法的脈絡(luò)，達(dá)到能力提升的目的。

求解多元變量的最值問(wèn)題，歸根結(jié)底需要完成兩個(gè)步驟：（1）索因搭橋定方向；（2）多化一二減變量。熟記幾個(gè)常用的方法，會(huì)讓解題過(guò)程事半功倍。在最后的半個(gè)月中，要達(dá)到做一題、學(xué)一法、會(huì)一類、通一片。本節(jié)課的設(shè)計(jì)重在方法歸類，明確數(shù)學(xué)的基本方法，也適當(dāng)拓展，更有助于啟迪學(xué)生的智慧，將學(xué)得的知識(shí)融會(huì)貫通，通過(guò)巧妙地變形、換元、轉(zhuǎn)化，化歸為熟悉問(wèn)題，挑戰(zhàn)較難的題，收獲成功的喜悅。多元變量最值的基本方法在課上由學(xué)生展示完成，課上合作、對(duì)話、質(zhì)疑、交流，思維碰撞，氣氛活躍，在競(jìng)爭(zhēng)中進(jìn)步。在教學(xué)過(guò)程中充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，挖掘?qū)W生的潛能，調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣。小組合作增強(qiáng)學(xué)生間的交流，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)言和交流的習(xí)慣，鍛煉學(xué)生思維的敏捷性，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)精神，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。我們老師在課堂中多探索、多反思、多總結(jié)，找到自己的定位，讓我們把握好“越位”和“缺位”，使課堂教學(xué)更精彩，使我們的學(xué)生更有活力。

編輯 趙飛飛