一種多輸入多輸出系統傳遞函數的實用計算方法

王家豪

摘要

在多輸入多輸出線性系統中，傳遞函數矩陣定義為零初始條件下，輸出的拉普拉斯變換y（s）和輸入的拉普拉斯變換u（s）之比，本文介紹了一種便于計算機和筆算的，適于任意階數的傳遞函數計算方法，并給出了相應的實例。

【關鍵詞】實用計算方法 傳遞函數計算 多輸入多輸出

多輸入多輸出線性時不變系統的傳遞函數矩陣，定義為零初始條件下輸出的拉普拉斯變換與輸入的拉普拉斯變換之間的因果關系。

設輸入變量組為{u₁，u₂，…，u_p}，輸出變量組為{y₁，y₂，…，y_q）且線性時不變系統初始條件為零。根據線性系統的疊加原理，可導出拉普拉斯變換意義下的輸出輸入關系式為：

簡寫為y（s）=G（s）U（s）

考慮線性時間連續系統，狀態空間描述為：

X=Ax+Bu

Y=Cx+Du

則傳遞函數矩陣G（s）的基于系數矩陣{A，B，C，D}的基本關系式為

G（s）=C（SI-A）^-1B+D

證：對上述兩個方案取拉普拉斯變換后，可導出：

（SI-A）x（s）=BU（s）

因為矩陣（SI-A）非奇異，

故有x（s）=（SI-A）^-1u（s），結論成立。

顯然，基于關系式建立了G（s）和{A，B，C，D}間的顯式關系，為分析和揭示系統兩種描述間的關系提供了基礎，但是，在求解過程中包含了對含有字母s的方陣的求逆運算，若系統為6維，求逆必求行列式，則在求行列式時人們還需計算6個5維子式。在計算每個子式又要5個4維子式，計算每個4維子式又需計算4個3維子式，操作十分繁瑣，人工極易出錯，且即使使用計算機，后續過程亦十分復雜。況且，大型過程中又要經常用到這樣的計算和操作，因此，本文給出了一種實用、便捷、易于計算機編程的算法，能夠迅速地解決問題。

本方法分z步：分別為（SI-A）行列式的計算和最終結果計算。

1 行列式的計算

根據G（s）的表達式，首先應計算（SI-A）^-1而任何矩陣在求逆運算的過程中都不可避免地計算行列式，這里是A矩陣的特征多項式，下面給出方法。

[特征多項式算法]：給定nxn系統矩陣A，其特征多項式具有形式：

可按下述步驟給出的順序來遞推地定出。

典型例題：給定4×4系統矩陣A為：

計算其特征多項式。解：

2 最終結果計算

[G（s）的實用算式]：對多輸入線性系統首先要定出特征多項式，設為a（s）。

和一組系數矩陣：

則計算G（S）的一個實用關系式為：

考慮導兩邊系數相等

結論成立。

注：可以看出，運用此方法計算G（S）時，只限于矩陣乘和加，復雜程度明顯降低

3 結語

通過以上分析，G（s）的計算可變得簡便快速，在實際應用過程中，可以使用程序設計語言根據以上算法編程實現，該方法具有巨大的便捷性和工程應用價值。