高中數(shù)學導數(shù)試題研究

李海茹

（山西省運城市風陵渡中學，山西 運城）

高中導數(shù)部分一直是高中生和教師的重點關注對象，但由于導數(shù)知識本身的復雜性、抽象性讓部分學生對于導數(shù)知識的把握不夠到位，再加上少數(shù)教師的專業(yè)知識不足、教學方法不當，也使得部分學生的導數(shù)解題陷入困境。所以學好導數(shù)就需要學生反復練習和大量記憶，加上教師優(yōu)秀的教學方法作為引導，只有兩方共同作用，才能真正讓學生在導數(shù)試題上的成績獲得提高。

一、學生所遇到的問題

首先，導數(shù)公式記憶以及運算求解能力薄弱，由于導數(shù)中需要記憶的公式比較多，形式復雜，所以很多學生在公式運用方面錯誤率比較高，比如在復合函數(shù)求導過程中以及函數(shù)的和差、積商的求導法則容易混淆和遺漏。

其次，學生對導數(shù)概念理解不夠透徹。部分學生誤把導函數(shù)為零的解看成是極值點，我們研究函數(shù)的性態(tài)必須在函數(shù)的定義域范圍內思考，所以只有明確函數(shù)的定義域，求答案的時候才有意義，也就是我們常說的定義域優(yōu)先原則。在求切線方程的時候，許多學生混淆了點“在”與“過”的區(qū)別，如果求曲線在某點處的切線方程，則該點必過切點；若是求過某點的切線方程，則無論該點是否在曲線上都應該另設切點而求解，事實上為防止漏解，學生在做題時都可先另設切點來解。在利用函數(shù)圖象借助數(shù)形結合解題時，往往學生不能夠全面考查函數(shù)的圖象與性質，很多學生只顧函數(shù)的片面特性，忽略全面分析函數(shù)整體性態(tài)與趨勢。

最后，部分學生基礎扎實但是導數(shù)壓軸題解題技巧性還是欠缺，另一部分學生的基礎還不夠牢固，對基本概念理解存在模糊，甚至求導計算還不夠熟練，解題欠缺技巧，不能充分結合數(shù)學思想方法去解題。

二、導數(shù)試題解題策略

1.導數(shù)幾何意義試題的解題策略

導數(shù)的幾何意義就是曲線在該點處切線的斜率，用數(shù)學術語表示就是這樣f′（x0）的幾何意義是曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處的切線斜率，其切線方程可以寫成y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）。近年來關于導數(shù)幾何意義的題型大致分為兩種類型，分別是曲線上一點處的切線方程和過一點的曲線的切線方程，前者一般用直接求導法來解決，后者一般用待定切點法來轉化解決。

例1.已知函數(shù)f（x）=ax3+x+1的圖象在點（1，f（1））處的切線過點（2，7），則a=_______。

本題主要考查多項式函數(shù)的導數(shù)計算、導數(shù)的幾何意義等基礎知識，應用導數(shù)求曲線的切線方程，要以“切點坐標”為橋梁，注意題目中是“處”還是“過”。本題求解時，先求導得到切線斜率，再求切線方程，進而利用條件構造關于a的方程求解。

2.用導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)的解題策略

導數(shù)是解決函數(shù)問題的有力工具，為解決函數(shù)的單調性、極值、最值、零點及其個數(shù)等問題提供了程序化的解決方法，大大地降低了函數(shù)在思維上的難度。

例2.已知函數(shù)f（x）=ex-e-x-2x。（Ⅰ）討論它的單調性

本題第（Ⅰ）問涉及利用導數(shù)求函數(shù)的單調性，即求導后利用基本不等式，可得f′（x）≥0，知f（x）為增函數(shù)。利用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間時一定要先確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程只能在定義域內進行，通過討論導數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調區(qū)間；利用導數(shù)研究函數(shù)極值時要注意對于可導函數(shù)、極值點導數(shù)必須為零，而導數(shù)為零的點不一定是極值點，f′（x）=0是點x0取得極值點的必要條件而非充分條件；求函數(shù)的最值與求函數(shù)極值的不同，求導函數(shù)的最值時，不需要對各導數(shù)為0的點討論其是極大值還是極小值，只需將導數(shù)為零的點和端點的函數(shù)值進行比較即可。

3.導數(shù)中求參問題的解題策略

高考數(shù)學全國卷的壓軸題一般都需要求參，關于求參問題覆蓋的知識面很廣，方法也很多，類型也有好多個。學生面對求參問題普遍存在“入手易、深入難；會而不對、會而不全”等問題。這就需要教師對恒成立求參問題、存在性求參問題、根據(jù)函數(shù)單調性求參問題、已知零點或極值點求參問題、已知切線方程求參問題進行深入講解，并對參數(shù)分離、數(shù)形結合、分類討論等數(shù)學思想進行探究。

例3.設函數(shù)f（x）=emx+x2-mx。（Ⅰ）證明：f（x）在（-∞，0）單調遞增，在單調（0，+∞）遞增；（Ⅱ）若對于任意x1，x2∈［-1，1］都有求m的取值范圍。

本題的第（Ⅱ）問主要考查利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，并求解參數(shù)。同時要運用分類討論、轉化化歸等數(shù)學思想。函數(shù)遇到解答題特點經(jīng)常是起點低、落點高，一般情況下提供的條件非常容易入手，可能是相同條件下單獨的小問題，每問均考查不同的知識點，始終要注意在恒成立求參問題時需要合理轉化，利用函數(shù)的性質求解，使不等式、函數(shù)及導數(shù)到達完美的統(tǒng)一。

總之，導數(shù)在中學數(shù)學和大學數(shù)學的知識體系中起著橋梁的作用，因此，我們對導數(shù)解題策略的研究，將有助于為學生日后學習高等數(shù)學奠定基礎，并且在學生構建知識的過程中起著承上啟下的重要作用。