教學一道例題后的思考

廣東江門市江海區外海街道中心小學（529000） 林早星

一、猜想、驗證

生：可以利用通分的方法、假設法、畫圖的方法。

師：可以通過畫圖把計算幾個部分的和轉化為求一個正方形減去空白部分所的差。

接下來，讓學生通過計算發現和的規律：隨著加數越來越多，和就越來越接近1。這個“無限”的概念非常抽象，學生不易理解，教師可以出示一個圓，或一條線段，或一個正方形，讓學生根據分數的意義表示這些加數，使學生直觀地看到最終的結果是“1”。

例題探究到這里，學生已經能感受到數形結合和極限的數學思想，基本上達到了教學目標。但是學生會不會受“無限”這個概念的影響，認為只要后面的每個分數是前一個分數的且一直加下去，結果都是1呢？于是，筆者認為很有必要進行以下的探究。

二、再猜想、再驗證

【教學片段2】師：受這道題的啟發，你能不能大膽猜想一下“幾個分數相加，如果前一個分數是后一個分數的2倍，求它們的和，怎樣計算比較簡便？

生1：幾個分數相加，如果前一個分數是后一個分數的2倍，求它們的和，只要用1減去最后一個分數就行了。

師：這個猜想正確嗎？

生2：以為例，可發現猜想錯誤。

師：還能提出新的猜想嗎？

生3：如果前一個分數是后一個分數的2倍，求這樣一組分數的和，只要用第一個分數的2倍減去最后一個分數。

由于經歷了再猜想、再驗證，學生通過畫圖、舉例驗證，比較兩個猜想的聯系，發現關于例題的猜想只適用于特殊情況，這個新猜想才更具有普遍性。

【思考】

1.引導學生數形結合（畫圖操作），感受用形解決數的有關問題的直觀性與簡捷性

幾何直觀符合小學生的思維特點，是最常用的一種解決問題的策略。對于的計算結果，有的學生會說最終的結果無限接近于1，但永遠不可能為1。事實上，對于任一有限和“都可以通過再減一項得到更小的數，這正是極限的核心思想。畫圖可以使數學問題變得直觀明了，“圖”應成為學生表征思維過程的重要方式，用“圖”幫助思考應成為學生的習慣。

2.引導學生掌握推理的方法，確保結論的正確性

歸納推理必須注意兩條要求：（1）枚舉的數量要足夠多,考察的范圍要足夠廣。（2）考察有無反例。在數形結合的基礎上，要引導學生猜想有限項的規律并加以驗證、歸納，總結出“通用模式”。這樣的結論才更具有普遍性，學生也能在這個學習的過程中體會和掌握歸納推理的思想和方法。

3.引導學生從不同角度探索數與形的通用模式，構建數學模型

小學階段的學習，雖然不要求學生寫出一個數列的通式，但學生可以通過數形結合的方法，利用圖形的規律，用自己的語言描述數列的通用模式。學生通過計算發現的和越來越趨向于1，感受到“無限接近”，雖然無法一一列舉所得結果，但學生可以利用觀察得出的規律進行“無窮無盡”的類推，從而體會極限的思想。

綜上，以“前一個分數是后一個分數的2倍的分數加法算式求和”這一知識為載體，運用“轉化”和“數形結合”的方法，能使學生經歷“猜想——驗證——再猜想——再驗證”的科學探究過程，體驗數學規律形成的過程，感悟探究數學規律的一般方法。