巧用空間向量突破立體幾何問題

■河南省商丘市第一高級中學 胡 娜

空間向量是高考考查的重要內容之一,它也是解決立體幾何問題的重要工具,在處理空間線線、線面、面面位置關系,以及夾角、距離等問題時起著至關重要的作用,有很多立體幾何問題都可以用空間向量來找到巧妙的解決方法。

如何建立空間直角坐標系成了突破立體幾何中的垂直、夾角等問題的關鍵。我們從以下幾個例題進行剖析。

例1 如圖1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°。

(1)證明AB⊥A1C;

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值。

圖1

突破點一：本題z軸的選取作為首要突破點,因為無論是從圖像上看,還是從條件上分析,底面△ABC作為等腰三角形,底邊的高線可以試著作為z軸。

突破點二：由于z軸已選取,而坐標原點是AB邊的中點,所以x軸,y軸的選取我們應該考慮在平面AA1B1B內,由條件AB=AA1,∠BAA1=60°,從而連接A1O,x軸,y軸的建立水到渠成。

突破點三：準確無誤表示關鍵點的坐標。

突破點四：法向量的求解。

解：(1)過點C作CO⊥AB,連接OA1,由于CA=CB,故OA=OB。又因為AB=AA1,且∠BAA1=60°,所以△AA1B為正三角形,則A1O⊥AB。又因為CO∩A1O=O,因此AB⊥平面COA1,所以AB⊥A1C。

(2)由于OA,OA1,OC兩兩垂直,故以O為原點,以OA,OA1,OC所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖2所示的空間直角坐標系,設OA=OB=1,則A(1,0,0),A1(0,3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0),所以=(1,0,

圖2

例2 如圖3,在四棱錐S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,側面SAB為等邊三角形,且AB=BC=2CD=2SD。

(1)證明SD⊥平面SAB;

(2)求AB與平面SBC所成角的余弦值。

突破點一：x軸,y軸的選取作為第一突破

點,由題意BC⊥CD,不妨把C點作為坐標原點。

突破點二：大膽作出z軸,因為只有S點的坐標與之有關系,而該點的坐標由條件可以求之,所以z軸的選擇不需要糾結。

圖3

突破點三：S點坐標的求解,因為有三個變量,即橫坐標,縱坐標,豎坐標,理論上應該找出三組關系,而本題由于條件的特殊化,兩組關系就夠了,一個是側面SAB為等邊三角形,即,還有一個條件2CD=2SD(不妨設CD=1)。

突破點四：求出平面SBC的法向量。

解：(1)建立如圖4所示的空間直角坐標系C-xyz,設SD=1,則D(1,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0)。設S(x,y,z),則x＞0,y＞0,z＞0,因 此=(x-2,y-2,z)=(x,y-得 y2+x2=1。 又=2,所 以0,故DS⊥AS,DS⊥BS。又因為AS∩BS=S,所以SD⊥平面SAB。

圖4

例3 如圖5,三棱柱ABC-A1B1C1中,側面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C。

(1)證明AC=AB1;

(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=AB,求二面角A-A1B1-C1的余弦值。

圖5

突破點一：x軸,y軸的選取作為第一突破點,因為側面BB1C1C為菱形,由對角線的垂直關系作為優先考慮的建系標準。

突破點二：z軸的準確定位,可以大膽猜想,設法證明。

突破點三：準確無誤地表示關鍵點坐標。

突破點四：法向量的求解。

突破點五：二面角的平面角是鈍角還是銳角的準確判定。

解：(1)連接B1C,BC1交于點O,再連接AO,由于側面BB1C1C為菱形,因此B1C⊥BC1,且O是B1C和BC1的中點。又因為AB⊥B1C,且AB∩BO=B,所以B1C⊥平面ABO,故AO⊥B1C。又O是B1C的中點,所以AC=AB1。

(2)因為AC⊥AB1且O是B1C的中點,所以AO=CO。又因為BC=AB,所以△BOA≌△BOC,故OA⊥OB,這樣OB,OB1,OA兩兩垂直。分別以OB,OB1,OA為x軸,y軸,z軸建立如圖6所示的空間直角坐標系,設OB=1,由于∠CBB1=60°, 所 以△CBB1為等邊三角形。因為BC=AB,所以

圖6

小結：空間向量在解決立體幾何問題時扮演著重要的角色,但是要想靈活地應用,在解決問題時起到畫龍點睛的作用,需要我們做到下面幾點：首先,根據題設條件建立恰當的空間直角坐標系;其次,寫出需要的點的坐標;最后,靈活運用需要的公式。