一碟小菜,數(shù)列精析

■河南省商丘市第一高級(jí)中學(xué) 王小明

縱觀近幾年高考數(shù)學(xué)試卷,數(shù)列在命題中加強(qiáng)了對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)和公式的考查力度。題目的難度都屬于容易題或中檔題。這一傳統(tǒng)的知識(shí)板塊的難度已經(jīng)大大降低了,高考不再在數(shù)列這里出難題了。因此,我們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)不需要過(guò)多地、人為地加大難度,只需要掌握基本的通法就可以。這與新課改中教學(xué)課時(shí)的分布是一致的。從知識(shí)范圍來(lái)看,主要考查等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等內(nèi)容;同時(shí)常見(jiàn)的求數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法(比如：分組求和、裂項(xiàng)求和、錯(cuò)位相減等)在近幾年高考中考查力度很大。從試題特點(diǎn)來(lái)看,小題具有“小、巧、活、新”的特點(diǎn),解答題屬于中低檔難度的題目,常考“知三求二”的基本問(wèn)題,但對(duì)基本的計(jì)算技能要求比較高。下面對(duì)數(shù)列中的幾個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行詳細(xì)講解。

易錯(cuò)點(diǎn)一：利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)

例1 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),則a6=( )。

A.3×44B.3×44+1

C.44D.44+1

解析：這是利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式an的題目,過(guò)程如下：

①-②得,an+1-an=3Sn-3Sn-1(n≥2),則an+1=4an(n≥2)。

對(duì)于①式,令n=1,則a2=3a1=3,所以{an}是從第二項(xiàng)開(kāi)始的等比數(shù)列。

點(diǎn)評(píng)：此題是“利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)”的題型,易錯(cuò)點(diǎn)不在于要不要驗(yàn)證首項(xiàng),而是下標(biāo)的變化。由①式得②式,必須注意下標(biāo)的修改,兩式相減得到差的式子,取兩式范圍的交集,遂得此數(shù)列是從第二項(xiàng)開(kāi)始的等比數(shù)列。①式的下標(biāo)范圍已經(jīng)給出,如果不給也是默認(rèn)的自然數(shù)集。②式只是對(duì)①式的變形,本質(zhì)表示的內(nèi)容并沒(méi)有變化,如果改成“an+2=3Sn+1(n≥0)”,得到運(yùn)算結(jié)果也是相同的。不論下標(biāo)加1減1,只要注意到表示的本質(zhì)內(nèi)容不變,得到結(jié)果就不會(huì)有錯(cuò)。

變式訓(xùn)練1.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an-2(n∈N*),求{an}。

解析：Sn=2an-2(n≥1),Sn-1=2an-1-2(n≥2),所以Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),則an=2an-1(n≥2)。

令n=1,S1=2a1-2,a1=2,所以{an}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列。

所以an=2n(n∈N*)。

易錯(cuò)點(diǎn)二：由Sn求an,注意第一項(xiàng)

例2 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n+2,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解析：當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=5。

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+2n+2-[(n-1)2+2(n-1)+2]=2n+1。

經(jīng)驗(yàn)證,a1不符合an=2n+1,則an=

點(diǎn)評(píng)：不論第一項(xiàng)驗(yàn)證符合不符合都必須分開(kāi)來(lái)求,這兩步求的邏輯不同,第一步是直接代入,第二步是用an=Sn-Sn-1,這種方法用來(lái)求a1是根本不可能的。

變式訓(xùn)練2.已知a1+2a2+3a3+…+nan=2n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解析：可以把{nan}當(dāng)作一個(gè)整體數(shù)列去求。記Sn=2n。

當(dāng)n=1時(shí),1·a1=S1=2;

當(dāng)n≥2時(shí),nan=Sn-Sn-1。

經(jīng)驗(yàn)證,1·a1不符合n·an,則n·an

易錯(cuò)點(diǎn)三：錯(cuò)位相減法

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求。

例3 已知an=(2n+1)·3n,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn。

則Sn=n·3n+1。

點(diǎn)評(píng)：錯(cuò)位相減法,屬于數(shù)列求和里面的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)。下面借本例題給大家詳細(xì)說(shuō)明：(1)錯(cuò)位相減法,適用于等比數(shù)列和等差數(shù)列乘積形式的數(shù)列,如果是除法數(shù)列,我們也應(yīng)當(dāng)看作乘積形式;(2)第一行的和式,數(shù)字雖然簡(jiǎn)單計(jì)算,但是仍然保留等差與等比乘積形式,不要寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果,那樣不方便找規(guī)律;(3)②式乘以等比數(shù)列的公比,這也就是為什么始終看作等差與等比乘積的原因;(4)相減時(shí),始終用①式減去②式;(5)減得的差式,第一項(xiàng)不變,最后一項(xiàng)前面是負(fù)號(hào),中間項(xiàng)共有n-1項(xiàng),不要漏項(xiàng);(6)利用等比數(shù)列求和,最終再化簡(jiǎn)。錯(cuò)位相減法,比較煩瑣,如果能固定計(jì)算過(guò)程,多加訓(xùn)練,就會(huì)熟能生巧。