緊盯關鍵點,玩轉環中環

■河南大學數學與統計學院 何 妍

■河南省商丘市第一高級中學 張志華

一、高考真題展示

2017年新課標Ⅰ理科卷第12題,從應用性的角度考查數列在實際生活中的應用,著實難為了無數考生,成了真正意義上的壓陣題。它需要考生在短時間內閱讀這么大的信息,抽象出數列模型,理清錯綜復雜的數列之間的關系,真正考查了考生的分析問題能力、思辨能力、綜合分析能力和運算求解能力,要求很高。

題目 幾位大學生響應國家的創業號召,開發了一款應用軟件。為激發大家學習數學的興趣,他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動。這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項是20,接下來的兩項是20,21,再接下來的三項是20,21,22,依此類推。求滿足如下條件的最小整數N：N＞100且該數列的前N項和為2的整數冪。那么該款軟件的激活碼是( )。

A.440 B.330 C.220 D.110

解析：由題意可得,數列如下：

1;

1,2;

1,2,4;

……

1,2,4,…,2k-1;

……

本題涉及的數學問題是數列問題,其中既有等差數列的求和問題,又有等比數列的求和問題,更為復雜的是本題設置的數列里邊又套有數列的問題。第一個數列的和又作為下一個數列的通項,而且最后幾項并不能放在一個數列中,需要進行判斷。

功夫在于平時,付出才出成績。對于上邊這道高考難題的考查方式,我們來看一下平時練習中遇見的類似模型。

二、追根溯源剖析

例1 將全體正整數排成一個三角形數陣：

按照以上排列的規律,第10行從左到右的第3個數為 。

解析：該數列第一行1個數,第二行2個數,第三行3個數,…,第n行n個數,則前9行共有數,即第9行最后一個數為45,所以第10行從左到右的第3個數為45+3=48。

點評：本題需要利用“化整為零”的思想,首先對于每一行數列單獨看待,發現其特殊性,再對行與行之間的規律進行總結,把握好銜接的關鍵點。

例2 數列1,3+5+7,9+11+13+15+17,19+21+23+…+29+31,…的第20項的和為 。

解析：第1項,有1個奇數;

第2項,有3個奇數;

第3項,有5個奇數;

……

第n項,有2n-1個奇數。

設前n項的和為Sn,則S1=1,S2=1+3+5+7,S3=1+3+5+7+9+11+13+15+所以第20項的和為S20-S19=204-194=29679。

點評：本題類似于例1,可以理解為對數列進行分組處理,先發現每組數列的特殊規律,再進行整體處理。同樣需要盯著關鍵點,處理好前后數列的過渡。

點評：本題既類似于前邊兩個例題,又區別于前邊兩個例題。它需要我們根據規律進行分組,然后再借助于前邊兩個例題的解題方式進行求解。

三、趁熱牛刀小試

知識在實踐中得以鞏固,能力在訓練中得以加強。懂是會的初級階段,會是懂的進一步升華。請深呼吸,做好下邊這道題吧。

強化訓練：已知數列：11,21,12,31,22,13,41,32,23,14,…,依據它的前10項的規律,則這個數列的第2018項a2018等于( )。

A.262 B.163 C.632 D.641

解析：將數列進行重新分組為(11),(21,12),(31,22,13),(41,32,23,14),…,則前n組的項數為1+2+3+…+n=可得n的最大值為63,且,則a2018為第64組的第2個數,故a2018=632。