初中數學絕對值問題探究

曹恒

【摘 要】初中生對絕對值問題的理解，常常不那么深入，往往是定義背得熟透了，一到回答問題或者寫作業的時候就老是犯錯誤，只停留在死記硬背定義的層面，不能靈活運用，我們首先對絕對值問題進行深入講解，然后結合足夠例子的演講，以期能提供給初中數學老師參考，共同搞好初中數學教學。

【關鍵詞】絕對值；正數；數軸；原點；距離

中圖分類號： G633.6 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）34-0240-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.34.099

如果一個數是正數，那么它的絕對值就是它自己；如果一個數是負數，那么它的的絕對值就是它的相反數；如果一個數是零，那么它的絕對值就是零。即：一個數的絕對值就是數軸上表示這個數的點到原點的距離。這樣一來，任何數的絕對值都是非負數。

化簡含絕對值的式子，關鍵的地方是去絕對值符號，先根據所給的條件，確定絕對值符號內的數a的正負（即a>0，a<0還是a=0）。如果已知條件沒有給出其正負，應該分類討論（即分別討論a>0，a<0和a=0的情形）。分類思想是數學中一種非常重要的思想。

以下我們用具體例子來加以說明。

例l.x+1+x-1的最小值是（ ）。

A.2 B.0 C.1 D.-1

【分析】常規方法是去掉絕對值，分類討論，但我們還可從絕對值幾何意義入手。

【解法一】分類討論：

當x<-1時，x+1+x-1=-（x+1）-（x-1）=-2x>2；

當-1？燮x？燮1時，x+1+x-1=x+1-（x-1）=2；

當x>l時，x+1+x-1=x+1+（x-1）=2x>2.

比較可知，x+1+x-1的最小值是2，選A。

【解法二】 由絕對值的幾何意義知，x-1表示數x所對應昀點與數1所對應的點之間的距離；x+1表示數x所對應的點與數-1所對應的點之間的距離；x+1+x-1的最小值是指到點1與點-1兩點之間距離之和的最小值，如圖1。

易知，當-1？燮x？燮1時，x+1+x-1的值最小，最小值是2，故選A。

例2.若a+b+1與（a-b+1）互為相反數，則a與b的大小關系是（ ）。

A.a>b B.a=b C.a

【分析】互為相反數的兩數之和為0，若這兩數均為非負數，則這兩數均為0。

【解法一】因為a+b+1？叟0，（a-b+1）2？叟0，且a+b+1與（a-b+1）2互為相反數，而互為相反數的兩個數：一個不大于0，另一個不小于0。

所以，即，解得。故a

【解法二】 由解法一知a-b+1=0，所以b=a+l，所以a

例3.下列選項中，（ ）的解集如圖2所示。

A.x-4<3 B.x-4>3 C.x+4<3 D.x+4>3

【分析】這是一道關于數形結合的絕對值問題，應考慮絕對值的幾何意義：x-4表示在數軸上點x離開點4的距離。

【解】 對于A有17或x<1；對于C有-7-l或x<-7，所以選C。

【探密】1.解絕對值問題常與數軸緊密相連.若能理解絕對值的幾何意義和數軸間的關系，本題求解就會得心應手了。

2.從數軸上獲取有關信息是解有理數問題的常用技巧，主要包括：①數軸上的點所表示的數的正負性；②數軸上的點到原點的距離。

例4.如果m-3+（n+2）=0，則方程3mx+1=x+n的解是____。

【分析】 想辦法先去絕對值，再解方程。

【解】 由絕對值的性質，得m-3？叟0，又（n+2）2？叟0.所以m-3=0且n+2=0，解得m=3，n=-2。于是，方程3mx+1=x+n轉化為9x+l=x-2，解得x=-。

【參考文獻】

[1]李益鋒.找尋那最初的“模樣”——絕對值函數最值問題的探討[J].中學數學教學，2018年04期，56-60.

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