基于2017數學建模的濾波反投影算法應用

李春梅

摘要 2017高教社杯全國大學生數學建模競賽A題是關于CT系統參數標定及成像模型。CT技術的核心是圖像重建，在圖像重建的過程中，建立基于radon變換的圖像矩陣重建模型。圖像重建的核心是重建算法，在迭代法和解析法中，解析法具有更嚴謹的數學知識基礎，處理速度快。解析重建算法中，濾波反投影算法運算效率更高，圖像重建的質量比較好，成本低。

【關鍵詞】CT 重構 randon 變換 濾波反投影

1 CT圖像重建原理的知識背景

CT系統基本過程是：平行入射的X射線垂直于探測器平面發射，形成一個發射.接收CT系統，每個探測器單元都看做是一個接收點，且間隔距離相等。計算機斷層成像圖像重建的過程是按照一定的算法將已經檢測到的投影數據進行數學運算，最終得到斷層圖像。

Radon變換及其逆變換：

物體斷層被射線掃描后需要用重建算法計算才能得到CT圖像，圖像重建的基礎是Radon變換及其逆變換。假設每條射線相互平行，對于一個二維平面進行射線檢測可得到一條投影數據，該投影數據稱為二維平面的一個Radon變換;如果檢測中該平面旋轉180度，同時將對應的投影數據進行組合，則得到類似正弦分布形式的圖像，從正弦圖獲取二維平面圖像的變換稱為Radon反演。用公式可分別描述為：Rf（θ，f）=

（ t cosθ +s sinθ，tsinθ-s sinθ）ds，由于matlab中封裝有radon函數，使用時直接調用函數：R=radon（I，theta）。

2 濾波反投影算法

3 濾波反投影算法的應用

為了標定radon反演重建結果在正方形托盤中的位置，我們需要確定x-射線開始照射時刻的角度，如圖1所示。

3.1 反演圖像矩陣在正方形托盤中的位置

為了轉換后矩陣與托盤位置對應，建立相對距離比例模型，尋找對應在正方形托盤位置各數值在裝換后矩陣Mimg中的位置。正方形托盤的邊長分別為100mm，垂直托盤照射時需要的探測器單元個數為：

將附件3數據進行iradon反演，通過矩陣非0點開始和結束位置的判斷并得出的256*256大小的介質吸收率的數據。矩形框的四個頂點相對應物理坐標系坐標分別為（-38.6726， -21.0956）、 （42.9628， -21.0956）、（42.9628，22.6516）、 （-38.6726，22.6516），這也是介質位于正方形托盤的較為精準位置。由于圖2是以中心作為原點畫圖，現為了保持坐標的一致，將附件4中的坐標值（x，y）變為（x-50，y-50）標示在10點標定示意圖中。由圖中看出，未知圖形外界形狀是一個橢圓狀，在靠近底部位置有兩個小橢圓部分的缺失，并且在接近橢圓頂端位置有一個稍大橢圓連接了一個小橢圓。10點所對應的收率Pr：【0，0.1538，0.9862，0，0.9839，0.9963，1.0206，0.9823，0，0】將圖表結合分析，吸收率為0的點有5個均不在介質中，其中有4個點比較集中，吸收率大小也接近，在三個類似橢圓疊合在一起時，吸收率最大為1.4703，有一個點在邊緣處正處于兩吸收率為0的點之間，整體來說，圖中點的分布于表中吸收率的值是一致的，間接證明結果的準確性。

參考文獻

[1] radon變換https： //baike. baidu. com/i tem/radon%E5%8F%9 8%E6 01，8D%A2，2017.9.14

[2]F. Pontanaj. PagniezT. Flohrj.B. FaivreA.DuhamelJ.Remy郭麗君Department ofThoracic

Imaging， HospitalCalmet te，使用迭代重建和濾波反投影法的胸部CT成像，國際醫學放射學雜志