基于間斷Galerkin有限元算法的高精度流場數值仿真

孫勇成 蔡俊偉 秦望龍

摘要 為了得到高精度的流場數值仿真結果，文章發展了高階間 斷Galerkin（ DiscontinuousGalerkin，DG）有限元方法，并對三維歐拉方程進行了數值求解。對三維復雜外形的繞流流場進行了高精度數值仿真。計算結果表明采用DG方法可以在較稀疏的網格上得到高精度的數值仿真結果，具有較好的工程應用前景。

【關鍵詞】間斷有限元 歐拉方程 三維數值模擬

1 引言

近年來隨著計算機軟硬件的更新和數值方法的不斷發展，計算流體力學（CFD）方法已經成為工業設計和分析不可或缺的工具之一。在眾多的CFD方法中，間斷Galerkin（discontinuous Galerkin，DG）有限元方法精度高、插值模板小、適于處理復雜邊界問題，成為目前計算流體力學的研究熱點之一。

間斷Galerkin有限元方法由Reed和Hill提出并應用于求解中子輸運方程，但直到Cockbum和Shu提出了Runge-Kutta DG方法并給出了收斂性證明之后該方法才逐漸在CFD領域得到廣泛的應用。隨后Bassi等人[2]對DG方法進行了深入研究，將該方法用于工程問題的求解中。國內的間斷Galerkin有限元方法研究起步較晚，近二十年才得到科研工作者的廣泛關注。但國內的相關研究還主要集中于二維簡單流動的數值模擬，三維的復雜外形繞流高精度數值模擬研究還相對較少。

本文基于間斷Galerkin有限元格式發展了適用于三維復雜外形數值計算的高精度仿真方法。采用該方法對三維ONERA M6機翼繞流進行了數值仿真，驗證了文中方法的魯棒性和工程應用前景。

2 控制方程

5 數值結果與分析

采用ONERA M6機翼繞流算例對文中方法進行驗證。來流條件為Ma∞= 0.699，攻角α：3.06°。文中采用51636個六面體網格單元進行數值計算。為了捕捉前緣弱激波，文中在機翼前緣處進行局部網格加密（圖l（a））。圖1（b）為三階精度下（p=2）計算得到的機翼表面壓強云圖，流場分布較為光滑，在機翼前緣處存在弱間斷。圖2為計算得到的機翼上三個截面的表面壓強系數分布，可以看出該算例的計算結果與實驗結果吻合較好。

6 結束語

本文采用高階間斷Galerkin有限元方法對三維Euler方程進行了數值求解。通過ONERA M6機翼繞流算例的數值仿真，驗證了文中方法在稀疏網格上對復雜外形的高精度流場進行數值仿真的可行性。

參考文獻

[l]Wang Z J.High-order methods for theEuler and Navier-Stokes equations onuns truc tured grids [J]. Progress

inAerospace Sciences， 2007， 43 （01）： 1-41.

[2]F. Ba s s i，S.R.Rebay，A High-OrderAccurate Discontinuous Finite ElementMethod for the Numerical Solutionof the Compressible Navier-StokesEquations， Journal of ComputationalPhysics [J]. 131，1997， 267-279.

[3]張來平，劉偉，賀立新等，基于靜動態重構的高階間斷Galerkin/FV混合格式在二維非結構網格中的推廣[J].計算物理，2011， 28 （02）： 309-319.