高中數學“含參”問題常用方法

楊忠慧

（河南省三門峽市陜州中學，河南 三門峽）

解決此類問題有一定的規律性，常見方法有：函數思想、分離參數、變換主元、數形結合等，其中分離參數轉換自變量是常用的方法。下面我將根據例題具體分析一下這些方法。

一、反參為主（即主元法）

對于給出了參數范圍的“恒成立”問題，常把參數視為主元，把主元視為已知函數，即把原題視為參數的函數，從函數角度來解答。

例1.對于任意a∈［-1，1］，函數f（x）=x2+（a-4）x-2a的值恒大于零，求x的取值范圍。

解：由題令 g（a）=（x-2）a+（x2-4x+4）>0 對 a∈［-1，1］恒成立。顯然x≠2。

∴g（a）是 a 的一次函數，要使 g（a）<0 在 a∈［-1，1］上恒成立，只需解之，得：x<1 或 x>3。

點評：此題若按分離法做，分離a得（x-2）a>4x-x2，需討論比較復雜。

變式：若例1中改為x∈［-1，1］上f（x）>0恒成立，則此題屬于二次函數區間定軸動題目。

點評：此題若用分離法不易解答。

通過這個例題，要使得學生掌握參數和未知數的轉換，從而更好更快地解決所遇到的問題。

二、分離參數和函數思想

通過恒等變形，將參數與主元分離出來，使不等式一邊只含參數，另一邊是與參數無關的主元問題，只需求出主元函數的最值。求主元函數的最值時，常用到配方法、基本不等式、函數單調性、三角函數值域等知識與方法。

解：∵x∈［1,+∞］，要使f（x）>0恒成立，即使

即x2+2x+a>0對x∈［1,+∞］恒成立。

分離參數得：a>-（x2+2x）=-（x+1）2+1

當 x∈［1,+∞］時，g（x）=-（x+1）2+1，最大值為 3。

∴實數a取值范圍為：a>-3

點評：以上解法為分離參數法，這樣通過將含有未知數的移到一邊，可以很容易利用函數的性質求出最大值，進而可知實數a的取值范圍。此題若按函數思想，則此函數為雙勾函數，需討論，比較復雜。

例2.（2013高考新課標Ⅰ21）已知函數f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），且在點P處有相同的切線y=4x+2

（Ⅰ）求 a，b，c，d 的值。

（Ⅱ）若x≥-2時，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍。

解：（Ⅰ）因為曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），所以b=d=2；因為f′（x）=2x+a，故f′（0）=a=4；g′（x）=ex（cx+d+c），故g′（0）=2+c=4，故c=2；所以f（x）=x2+4x+2，g（x）=ex（2x+2）。

（Ⅱ）函數思想

令F（x）=kg（x）-f（x），則F′（x）=（kex-1）（2x+4），由題設可得F（0）≥0，故k≥1，令F′（x）=0得x1=-lnk，x2=-2。

①若1≤k≤e2，則-2

當x∈（x1，+∞）時，F′（x）>0，即F（x）在（-2，+∞）上最小值為F此時f（x）≤kg（x）恒成立；

②若 k=e2，F′（x）=（ex+2-1）（2x+4）≥0，故 F（x）在（-2，+∞）上單調遞增，因為F（2）=0所以f（x）≤kg（x）恒成立；

③若k>e2，則F（-2）=-2ke-2+2<0，故f（x）≤kg（x）不恒成立；

綜上所述，k 的取值范圍為［1，e2］。

點評：此題相較于上一題相對復雜，平時練習中，要善于利用函數思想進行思考，靈活解題。