淺談數學猜想在教學中的價值

羅曉雪

（福建省清流縣第一中學，福建 三明）

《普通高中數學課程標準》中要求：“人人學有價值的數學；人人都能獲得必需的數學；不同的人在數學上得到不同的發展。”同時提出：“數學學習應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動。動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。”本文就談談數學猜想對學生學習和教師教學的價值。

一、有利于提高學生分析問題、解決問題的能力

學習數學的正確途徑是實現學生的“再創造”，也就是學生本人把要學的東西自己“發現”或“創造”出來，教師的任務是引導和幫助學生進行這種創造性活動。因此在教學過程中，要實現學生的“再創造”，就必須重視數學猜想法，引導學生通過聯想、類比、歸納等方法，對待解問題的思路進行大膽探索、猜想，從而迅速獲得最佳解題方案。

這里我們發現直接開方求解比較困難，但這時我們可以提醒學生注意到這里的n是個一般的自然數，因此可以讓n從小變大，并注意到要開方，就與因數分解有關，觀察11-2=32，1111-22=332，依此類推，學生就很容易猜想到通過這樣的猜想，這道題便很容易求解了。學生最后可得出

從上面的例子我們可以看出，猜想這種思維方式在數學學習中具有強大的作用，學生收獲的不僅是該題的解決方法，而且還學到了解決這一類型問題的方法。因此教師要不失時機地培養學生這種思維能力，這樣有利于提高學生分析數學問題、解決數學問題的能力。

二、有利于培養學生的創造性思維

在數學學習中，猜想作為一種手段，目的是為了驗證猜想是否正確，從而使學生積極參與學習的過程，使學生主動地獲取知識，培養學生的創造性思維。

對于我們所熟悉的勾股定理：“在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。”從不同角度來理解此定理，并沿不同方向將其一般化，提出猜想并證明其正確的派生命題至少有以下幾個：

（1）余弦定理（將直角三角形推廣到一般三角形）。

（2）托勒密定理（兩全等直角三角形可構成長方形，也可將長方形推廣到圓內切四邊形）。

（3）平行四邊形兩對角線平方和等于其四邊平方和（由矩形推廣到平行四邊形）。

（4）分別以直角三角形三邊a、b、c為一邊，向外作三相似形，其面積分別為Sa、Sb、Sc，則Sa+Sb=Sc（由三個正方形推廣到任意三個相似形）。

（6）直角四面體勾股定理：在四面體O—ABC中，O—ABC是直三面角，與O、A、B、C之頂點相對的三角形面積分別為：SO、Sa、Sb、Sc，則

從這個例子我們看到，將已知命題一般化提出猜想，常可得到新定理，這時學習一個定理已不僅僅局限于一個命題而可能得到一個命題群。這種思維是開放的，思維結果具有創新性，這正是創造性思維的特點，學生也能從這種猜想中培養自己的創造性思維。

三、有利于教師培養學生的數學學習興趣

猜想最常運用于對新知識的探索起步階段，因為這個階段的猜想可以激活學生的思維，有利于架起已知與未知的橋梁，更有利于學生積極主動培養自己的猜想意識，也是教師培養學生進行知識再發現和再創造的良好開端。學生的合理猜想中融合了直覺思維、聯想等要素，是較復雜的思維過程，讓學生根據已有的知識或直覺進行猜想，既能調動學生的各種思維能力，在猜想的過程中更好地獲取知識，又能展現他們的創新才智，提高他們的數學學習興趣。

例如高中課程中關于立方和公式的猜想，求13+23+33+…+n3的和。

分析：該數列既不是等差數列，也不是等比數列，因此學生對這種求和沒有頭緒，認為該題很難。這時老師可以提醒學生用猜想的方法，先寫出兩個數和三個數的和，如：

13+23=1+8=9=32=（1+2）2

13+23+33=1+8+27=36=62=（1+2+3）2

這時引導學生觀察這兩個式子的規律，而后鼓勵學生再寫出四個數和五個數的式子，總結出一般規律猜想出n個數的和。學生此時就有了頭緒，接著就想到：

13+23+33+43=1+8+27+64=100=102=（1+2+3+4）2

13+23+33+43+53=1+8+27+64+125=152=（1+2+3+4+5）2

……

最后猜想出13+23+33+…+n3=

學生猜想完后，老師給予嚴格的證明，證明這個式子是正確的。此時，學生從猜想中得到式子13+23+33+…+n3的和，而且發現這個復雜的式子的和并沒有想象中的復雜，自己也能得出來，心理上得到極大的滿足，同時也增強了自信心，對數學產生濃厚的學習興趣。

因此，正確地引導學生進行適當的數學猜想，不僅可以鍛煉學生的數學思維能力，也能激發學生的數學學習興趣。對于教師的教學來說，在創設問題情境這一環節加入符合本節課內容的猜想，能起到一個很好的引入作用，讓學生對本節課充滿期待，更有興趣學習本節課內容。