論分類討論思想在高中數學解題中的應用

李志紅

（山西省襄汾縣實驗高級中學，山西 臨汾）

一、分類討論思想的重要性

分類討論思想是高中解題過程中經常需要運用的思想，如果我們不具備這種思想，就很難在實際解決問題的過程中進行分類討論，沒有進行分類討論答案自然得不全分數，嚴重地影響了學生的分數。比如，在解決不等式問題時，如果學生不討論左右兩邊的大小問題，就不可能得全分數。

二、分類討論思想在高中數學解題中的應用

學會分類討論思想，不僅可以幫助我們更全方位地掌握知識，還可以將自己所學的知識靈活地運用，保證答題時回答出無遺漏的答案，在解題時得到屬于自己的分數，讓我們的付出與回報成正比，對得起自己所付出的努力。

1.學會劃定范圍的能力

在高中數學中，許多需要分類討論的問題都有一定的范圍，許多同學不懂得如何劃定范圍，往往導致在分類環節就受到了阻礙，所以，我們應當通過具體的例題，掌握劃定范圍的能力。

比如，在解決幾何問題中移動點的問題時，有的同學往往不會確定這個點的移動范圍，導致分類討論受阻。這個時候，要結合題目進行分析，一切信息都在題目中，如果題目中沒有明確地給出這個點的移動范圍，可以通過題目中的其他信息進行計算。通過例題的演示計算過程，理清自己的思路。

對于代數問題，主要問題是不知如何下手，通過例題能夠知道如何解題。

例如，|3x+1|+|x|<1這道題，許多同學覺得無從下手。可以先讓3x+1=0，x=0，解出這樣就將這道題的范圍得了出來，整道題討論的范圍都是圍繞著和0來進行。

在學習的過程中要有側重點，要明白分類討論是得分的第一步，如果連大范圍都不會劃定，即使掌握了知識點也得不到分數，所以在解答具體問題時，要將重點放在得分的第一項，知識點的講解應當放在新知識的學習與復習環節。

2.學會大范圍分類討論的能力

在掌握了劃定范圍的能力之后，一些同學往往不會將范圍細分討論，不清楚如何將范圍分類，而教師在講解的過程中，也很少會涉及為什么這樣分類討論，導致學生在向教師學習解題過程時，僅僅是把分類的問題當成題設進行討論，缺乏自己進行分類的能力，而導致一些同學在實際的解題過程中出現問題。

例如，二次函數對兩根大小的討論：

x2+（b2+b）x+b2>0這道題，可以先將不等式左邊變換為（x+b）（x+b2），讓（x+b）（x+b2）=0，可以得出兩個根，x=-b，x=-b2，再分類討論這兩個根的大小關系，即：

①當 b>0 或 b<0 時，-b>-b2，解集為{x|x<-b2，x>-b}

②當 b=1 或 b=0 時，-b=-b2，解集為{x|x∈R，x≠b}

③當 0-b2，解集為{x|x>-b2，x<-b}

在分類討論問題時，也要明白這么分類的原因，如何將大范圍分類，依據是什么？訓練自己的嚴謹思維模式，明白什么叫具體問題具體分析，理清解題思路。能在實際的解題過程中學會將大范圍分類，并且針對分類逐一地解決問題，最后再進行匯總。

3.培養自身分類討論的敏銳直覺

許多同學已經掌握了分類討論思想，但是在實際的解題過程中，仍然忘記使用這個思想，因為對需要分類討論的習題缺乏一種敏銳的直覺。可以通過多做需要分類討論的訓練題，提升對分類討論習題的敏感性，還可以將常見的需要分類討論思想的問題進行總結歸納，知道題目中有可能需要分類討論的題眼，要肯定自己，因為有些同學不敢確定這道題是否需要討論，害怕自己出現錯誤，所以不敢去寫。

例如，2x2+bx+2>0，這類需要解出二次根式且含有未知數的不等式，一定要分類討論b的大小。可以依據Δ=0求出b=4或-4，再通過分別討論①-4

有些題目一眼看不出需要用到分類討論思想，所以要讓學生在做題時一直保持警惕。比如，這道題求一次函數y=2kx+3k一定經過的象限。可以先通過連等式得到c+b=ak，b+a=ck，c+a=bk，再將這三個等式相加，得到 2（a+b+c）=k（a+b+c），此時就應當注意討論“a+b+c”是否為零，得出當a+b+c=0 時，k=-1，y=-2x-3，經過二、三、四象限;當 a+b+c≠0 時，k=2，y=4x+6經過一、三、四象限。所以肯定經過三、四象限。

掌握了分類思想，不僅可以提升自己的數學成績，還可以訓練自己的頭腦，讓自己的思維更加縝密。我們應當針對學習中經常出現的問題，想出相應的對策，解決問題。