關(guān)于討論含參函數(shù)單調(diào)性的一點(diǎn)看法

王 敏（陜西省漢中市略陽(yáng)縣天津高級(jí)中學(xué)，陜西 漢中）

一、方法探尋

我們?cè)谟懻摵瑓⒑瘮?shù)單調(diào)性時(shí)常常借助導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具，我們對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，最后討論導(dǎo)函數(shù)值的正、負(fù)情況，從而確定原函數(shù)的單調(diào)性，而討論導(dǎo)函數(shù)值的正、負(fù)情況歸根結(jié)底就是討論導(dǎo)函數(shù)圖像的正、負(fù)分布。下面我就函數(shù)圖像正、負(fù)分布的分類討論方法歸納如下幾個(gè)步驟介紹給大家。

分類點(diǎn)一：討論圖像類型：（1）水平直線型；（2）二次函數(shù)型；（3）單調(diào)型。

分類點(diǎn)二：討論根分布：（1）討論根個(gè)數(shù)；（2）討論根與“討論區(qū)間”關(guān)系（討論區(qū)間由函數(shù)定義域確定）；（3）討論根與根的關(guān)系（此步驟至少要有二個(gè)根）。

分類點(diǎn)三：討論圖像的“走勢(shì)”（走勢(shì)指圖像根據(jù)參數(shù)取值來(lái)確定其樣子）

二、實(shí)踐應(yīng)用

例：研究f（x）=（x-a）（x+1）在R上的正、負(fù)分布

分析：分類點(diǎn)一：討論圖像類型：確定為二次函數(shù)型。

分類點(diǎn)二：討論根分布：①討論根個(gè)數(shù)，當(dāng)a=-1時(shí)，一個(gè)根。當(dāng)a≠-1時(shí)，有兩個(gè)根x1=a，x2=-1。②討論根與“討論區(qū)間”關(guān)系，a，-1∈R③討論根與根的關(guān)系，a＜-1（x1＜x2），a＞-1（x1＞x2）。

解：令f（x）=0，則x1=a，x2=-1當(dāng)a=-1時(shí)，x∈R，f（x）≥0

當(dāng)a＜-1時(shí)，x∈（-∞，a）∪（-1，+∞），f（x）＞0，x∈（a，-1），f（x）＜0.

當(dāng)a＞-1時(shí)，x∈（-∞，-1）∪（a，+∞），f（x）＞0，x∈（-1，a），f（x）＜0.

從以上過程可以看出，解決此類分類討論問題，只要嚴(yán)格按照三大分類點(diǎn)，同學(xué)們就會(huì)分類目標(biāo)明確，思路清楚，有點(diǎn)可依，而不是無(wú)處下手。

三、推廣延伸（真題練習(xí)）

分類點(diǎn)一：討論圖像類型：①當(dāng)k=0時(shí)，單調(diào)型。②當(dāng)k≠0時(shí)，二次函數(shù)型。

分類點(diǎn)二：討論根分布：①討論根個(gè)數(shù)，當(dāng)k=0時(shí)，一個(gè)根。當(dāng)k≠0 時(shí)，有兩個(gè)根②討論根與“討論區(qū)間”關(guān)系，當(dāng) k=0 時(shí)，x=0∈（-1，+∞），當(dāng) k＞0 時(shí)，x1，x2∈（-1，+∞），當(dāng) k＞0時(shí)，x1∈（-1，+∞），x2?（-1，+∞），③討論根與根的關(guān)系，當(dāng) k=1時(shí)，x1=x2=0，當(dāng) 0＜k＜1 時(shí)，x1＜x2，當(dāng) k＜0 或 k＞1 時(shí)，x1＞x2.

分類點(diǎn)三：討論圖像的“走勢(shì)”：

令 g（x）=kx2+（k-1）x，當(dāng) k=0 時(shí)，x∈（-1，0）時(shí)，g（x）＞0，x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）＜0

當(dāng) k=1 時(shí)，x∈（-1，∞）時(shí)，g（x）≥0

當(dāng) k＜0 時(shí)，x∈（-1，0）時(shí)，g（x）＞0，x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）＜0

綜上可知：當(dāng)k≤0時(shí)，f（x）在（-1，0）上是增加的，在（0，+∞）上是減少的。

當(dāng)k=1時(shí)，f（x）在（-1，+∞）上是增加的。

從上例可以看出，無(wú)論多么復(fù)雜的含參討論問題只要按照以上步驟走下去都可以找到分類的標(biāo)準(zhǔn)，即分類的尺子。而且按此步驟走，條理性很強(qiáng)，避免無(wú)了無(wú)從下手的感覺。